(d) Determine outra solução de (i.e., uma solução diferente da encontrada no item anterior).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre quatro vetores em que satisfazem a equação . Isso significa que temos uma relação de dependência entre esses vetores. Vamos usar conceitos de dependência linear e independência linear para responder as partes (a) até (d) do exercício.
Passo 2
Parte (a): Queremos saber se o conjunto é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD).
Como já temos uma combinação não trivial (não todas as constantes são zero) que dá zero (), isso mostra que os vetores são linearmente dependentes (LD).
Passo 3
Parte (b): Agora, vamos analisar o conjunto . Sabemos que está relacionado com e , mas não aparece nessa relação. Para determinar se é LI ou LD, precisamos ver se existe alguma combinação não trivial que resulte em zero.
Como não há uma relação direta envolvendo , e supondo que não esteja relacionada com os outros vetores, podemos considerar que é linearmente independente (LI).
Para , a solução trivial é . Mas como os vetores são LD, existe uma solução não trivial. Da relação , podemos escrever a solução não trivial: , , , e . Então, uma solução é .
Para , usamos a relação . Assim, se escolhermos , , , e , temos como solução.
Passo 5
Parte (d): Precisamos encontrar outra solução para diferente da encontrada anteriormente.
Podemos escolher (já que não estava envolvido anteriormente) e ajustar os outros valores para manter a igualdade. Usando a relação , podemos definir , , , e . Assim, uma outra solução é .