Sejam tais que
(a) O conjunto é LI ou LD?
(b) Você pode dizer que o conjunto é LD ou LI?
© Se e são colunas de uma matriz , dê uma solução para cada um dos sistemas
(d) Determine outra solução de (i.e., uma solução diferente da encontrada no item anterior).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre quatro vetores em que satisfazem a equação . Isso significa que temos uma relação de dependência entre esses vetores. Vamos usar conceitos de dependência linear e independência linear para responder as partes (a) até (d) do exercício.

Passo 2

Parte (a): Queremos saber se o conjunto é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD).
Como já temos uma combinação não trivial (não todas as constantes são zero) que dá zero ( ), isso mostra que os vetores são linearmente dependentes (LD).

Passo 3

Parte (b): Agora, vamos analisar o conjunto . Sabemos que está relacionado com e , mas não aparece nessa relação. Para determinar se é LI ou LD, precisamos ver se existe alguma combinação não trivial que resulte em zero.
Como não há uma relação direta envolvendo , e supondo que não esteja relacionada com os outros vetores, podemos considerar que é linearmente independente (LI).

Passo 4

Parte ©: Somos dados que são colunas de uma matriz . Precisamos encontrar soluções para os sistemas e .
Para , a solução trivial é . Mas como os vetores são LD, existe uma solução não trivial. Da relação , podemos escrever a solução não trivial: , , , e . Então, uma solução é .
Para , usamos a relação . Assim, se escolhermos , , , e , temos como solução.

Passo 5

Parte (d): Precisamos encontrar outra solução para diferente da encontrada anteriormente.
Podemos escolher (já que não estava envolvido anteriormente) e ajustar os outros valores para manter a igualdade. Usando a relação , podemos definir , , , e . Assim, uma outra solução é .

Resposta

(a) O conjunto é linearmente dependente (LD).
(b) O conjunto é linearmente independente (LI).
© Uma solução para é e para é .
(d) Outra solução para é .

Exercícios relacionados

Suponha que . Além disso,
(a) Mostre que .
(b) Se , determine duas soluções distintas do sistema .
© O que é possível dizer sobre as relações de dependência linear entre os elementos do conjunto
Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(a) Se o sistema linear possui mais de uma solução então possui pelo menos uma solução.
(b) Se é uma solução de e é uma solução de então é solução de .
© Se é matriz , então possui infinitas soluções.
(d) Se é simétrica então para toda matriz
Seja .
(a) Encontre uma forma escalonada de .
(b) O sistema linear tem solução única para algum ?
Seja um sistema linear tal que uma forma escalonada da matriz aumentada desse sistema é
onde é um número real qualquer. Determine, se existirem, os valores de para os quais o sistema tenha uma única solução, infinitas soluções e nenhuma solução.