Sejam
tais que
(a) O conjunto
é LI ou LD?
(b) Você pode dizer que o conjunto
é LD ou LI?
© Se
e
são colunas de uma matriz
, dê uma solução para cada um dos sistemas
(d) Determine outra solução de
(i.e., uma solução diferente da encontrada no item anterior).
(b) Você pode dizer que o conjunto
© Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre quatro vetores
em
que satisfazem a equação
. Isso significa que temos uma relação de dependência entre esses vetores. Vamos usar conceitos de dependência linear e independência linear para responder as partes (a) até (d) do exercício.
Passo 2
Parte (a): Queremos saber se o conjunto
é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD).
Como já temos uma combinação não trivial (não todas as constantes são zero) que dá zero (
), isso mostra que os vetores são linearmente dependentes (LD).
Passo 3
Parte (b): Agora, vamos analisar o conjunto
. Sabemos que
está relacionado com
e
, mas
não aparece nessa relação. Para determinar se
é LI ou LD, precisamos ver se existe alguma combinação não trivial que resulte em zero.
Como não há uma relação direta envolvendo
, e supondo que
não esteja relacionada com os outros vetores, podemos considerar que
é linearmente independente (LI).
Passo 4
Parte ©: Somos dados que
são colunas de uma matriz
. Precisamos encontrar soluções para os sistemas
e
.
Para
, a solução trivial é
. Mas como os vetores são LD, existe uma solução não trivial. Da relação
, podemos escrever a solução não trivial:
,
,
, e
. Então, uma solução é
.
Para
, usamos a relação
. Assim, se escolhermos
,
,
, e
, temos
como solução.
Passo 5
Parte (d): Precisamos encontrar outra solução para
diferente da encontrada anteriormente.
Podemos escolher
(já que
não estava envolvido anteriormente) e ajustar os outros valores para manter a igualdade. Usando a relação
, podemos definir
,
,
, e
. Assim, uma outra solução é
.
Resposta
(a) O conjunto
é linearmente dependente (LD).
(b) O conjunto
é linearmente independente (LI).
© Uma solução para
é
e para
é
.
(d) Outra solução para
é
.