Sejam a1, a2, a3, a4 in R^m tais que
a1-2 a2-a4=0
(a) O conjunto a1, a2, a3, a4 é LI ou LD?
(b) Você pode dizer que o conjunto a1, a2, a3 é LD ou LI?
© Se a1, a2, a3 e a4 são colunas de uma matriz A, dê uma solução para cada um dos sistemas
A x=0 e A x=a4
(d) Determine outra solução de A x=a4 (i.e., uma solução diferente da encontrada no item anterior).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre quatro vetores em que satisfazem a equação . Isso significa que temos uma relação de dependência entre esses vetores. Vamos usar conceitos de dependência linear e independência linear para responder as partes (a) até (d) do exercício.

Passo 2

Parte (a): Queremos saber se o conjunto é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD).
Como já temos uma combinação não trivial (não todas as constantes são zero) que dá zero ( ), isso mostra que os vetores são linearmente dependentes (LD).

Passo 3

Parte (b): Agora, vamos analisar o conjunto . Sabemos que está relacionado com e , mas não aparece nessa relação. Para determinar se é LI ou LD, precisamos ver se existe alguma combinação não trivial que resulte em zero.
Como não há uma relação direta envolvendo , e supondo que não esteja relacionada com os outros vetores, podemos considerar que é linearmente independente (LI).

Passo 4

Parte ©: Somos dados que são colunas de uma matriz . Precisamos encontrar soluções para os sistemas e .
Para , a solução trivial é . Mas como os vetores são LD, existe uma solução não trivial. Da relação , podemos escrever a solução não trivial: , , , e . Então, uma solução é .
Para , usamos a relação . Assim, se escolhermos , , , e , temos como solução.

Passo 5

Parte (d): Precisamos encontrar outra solução para diferente da encontrada anteriormente.
Podemos escolher (já que não estava envolvido anteriormente) e ajustar os outros valores para manter a igualdade. Usando a relação , podemos definir , , , e . Assim, uma outra solução é .

Resposta

(a) O conjunto é linearmente dependente (LD).
(b) O conjunto é linearmente independente (LI).
© Uma solução para é e para é .
(d) Outra solução para é .

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