Suponha que
. Além disso,
(a) Mostre que
.
(b) Se
, determine duas soluções distintas do sistema
.
© O que é possível dizer sobre as relações de dependência linear entre os elementos do conjunto
(a) Mostre que
(b) Se
© O que é possível dizer sobre as relações de dependência linear entre os elementos do conjunto
Passo 1
Vamos analisar o enunciado do exercício. Temos uma relação entre vetores:
. O conteúdo envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços gerados por conjuntos de vetores e sistemas lineares. Para resolver as questões propostas, vamos precisar entender o que significa o espaço gerado por um conjunto de vetores (
), dependência linear e como resolver sistemas lineares homogêneos.
Passo 2
Parte (a): Queremos mostrar que o espaço gerado pelos vetores
é igual ao espaço gerado apenas por
.
Primeiro, vamos lembrar que o espaço gerado por um conjunto de vetores é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Isso significa que qualquer vetor no espaço
pode ser escrito como
.
No entanto, sabemos que
pode ser expressa como uma combinação linear de
devido à relação dada:
. Isso significa que
não adiciona nenhuma nova direção ao espaço já gerado por
.
Portanto, qualquer combinação linear que envolva
pode ser reescrita usando apenas
, o que implica que os espaços gerados são iguais.
Passo 3
Parte (b): Precisamos encontrar duas soluções distintas para o sistema homogêneo
, onde
.
Primeiro, escrevemos o sistema linear associado:
Sabemos pela relação dada que
. Substituindo
na equação:
Para que essa combinação seja o vetor zero, os coeficientes de
,
e
devem ser zero:
Vamos expressar
,
e
em termos de
:
Podemos atribuir valores diferentes a
para encontrar soluções distintas. Por exemplo:
- Se
:
Então, uma solução é
.
- Se
:
Outra solução é
.
Passo 4
Parte ©: Queremos saber o que podemos dizer sobre as relações de dependência linear entre os elementos do conjunto
.
Sabemos que
é uma combinação linear de
, ou seja, elas são linearmente dependentes, pois uma delas pode ser escrita como uma combinação das outras. Além disso, como conseguimos encontrar soluções não triviais para o sistema homogêneo
, isso implica que as colunas do matrix
são linearmente dependentes.
No entanto, em relação ao conjunto
, se assumirmos que não há outras relações além daquela que define
, podemos concluir que
são linearmente independentes, ou seja, nenhuma delas pode ser escrita como uma combinação linear das outras duas. Isso significa que o conjunto forma uma base para o espaço que eles geram.
Resposta
(a)
.
(b) Duas soluções distintas do sistema são
e
.
© Os vetores
são linearmente independentes.