Suponha que . Além disso,
(a) Mostre que .
(b) Se , determine duas soluções distintas do sistema .
© O que é possível dizer sobre as relações de dependência linear entre os elementos do conjunto

Passo 1

Vamos analisar o enunciado do exercício. Temos uma relação entre vetores: . O conteúdo envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços gerados por conjuntos de vetores e sistemas lineares. Para resolver as questões propostas, vamos precisar entender o que significa o espaço gerado por um conjunto de vetores ( ), dependência linear e como resolver sistemas lineares homogêneos.

Passo 2

Parte (a): Queremos mostrar que o espaço gerado pelos vetores é igual ao espaço gerado apenas por .
Primeiro, vamos lembrar que o espaço gerado por um conjunto de vetores é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Isso significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como .
No entanto, sabemos que pode ser expressa como uma combinação linear de devido à relação dada: . Isso significa que não adiciona nenhuma nova direção ao espaço já gerado por .
Portanto, qualquer combinação linear que envolva pode ser reescrita usando apenas , o que implica que os espaços gerados são iguais.

Passo 3

Parte (b): Precisamos encontrar duas soluções distintas para o sistema homogêneo , onde .
Primeiro, escrevemos o sistema linear associado:
Sabemos pela relação dada que . Substituindo na equação:
Para que essa combinação seja o vetor zero, os coeficientes de , e devem ser zero:
Vamos expressar , e em termos de :
Podemos atribuir valores diferentes a para encontrar soluções distintas. Por exemplo:
  1. Se :
Então, uma solução é .
  1. Se :
Outra solução é .

Passo 4

Parte ©: Queremos saber o que podemos dizer sobre as relações de dependência linear entre os elementos do conjunto .
Sabemos que é uma combinação linear de , ou seja, elas são linearmente dependentes, pois uma delas pode ser escrita como uma combinação das outras. Além disso, como conseguimos encontrar soluções não triviais para o sistema homogêneo , isso implica que as colunas do matrix são linearmente dependentes.
No entanto, em relação ao conjunto , se assumirmos que não há outras relações além daquela que define , podemos concluir que são linearmente independentes, ou seja, nenhuma delas pode ser escrita como uma combinação linear das outras duas. Isso significa que o conjunto forma uma base para o espaço que eles geram.

Resposta

(a) .
(b) Duas soluções distintas do sistema são e .
© Os vetores são linearmente independentes.

Exercícios relacionados

Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(a) Se o sistema linear possui mais de uma solução então possui pelo menos uma solução.
(b) Se é uma solução de e é uma solução de então é solução de .
© Se é matriz , então possui infinitas soluções.
(d) Se é simétrica então para toda matriz
Verifique para quais valores de a matriz abaixo é inversível.
Sejam tais que
(a) O conjunto é LI ou LD?
(b) Você pode dizer que o conjunto é LD ou LI?
© Se e são colunas de uma matriz , dê uma solução para cada um dos sistemas
(d) Determine outra solução de (i.e., uma solução diferente da encontrada no item anterior).
Seja .
(a) Encontre uma forma escalonada de .
(b) O sistema linear tem solução única para algum ?