Suponha que 2 a1+a2-a3=a4. Além disso,
(a) Mostre que La1, a2, a3, a4=La1, a2, a3.
(b) Se A=(a1 a2 a3 a4), determine duas soluções distintas do sistema A x=0.
© O que é possível dizer sobre as relações de dependência linear entre os elementos do conjunto a1, a2, a3 ?

Passo 1

Vamos analisar o enunciado do exercício. Temos uma relação entre vetores: . O conteúdo envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços gerados por conjuntos de vetores e sistemas lineares. Para resolver as questões propostas, vamos precisar entender o que significa o espaço gerado por um conjunto de vetores ( ), dependência linear e como resolver sistemas lineares homogêneos.

Passo 2

Parte (a): Queremos mostrar que o espaço gerado pelos vetores é igual ao espaço gerado apenas por .
Primeiro, vamos lembrar que o espaço gerado por um conjunto de vetores é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Isso significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como .
No entanto, sabemos que pode ser expressa como uma combinação linear de devido à relação dada: . Isso significa que não adiciona nenhuma nova direção ao espaço já gerado por .
Portanto, qualquer combinação linear que envolva pode ser reescrita usando apenas , o que implica que os espaços gerados são iguais.

Passo 3

Parte (b): Precisamos encontrar duas soluções distintas para o sistema homogêneo A x = 0 Rightarrow a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 = 0 , onde a1x1 + a2x2 + a3x3 + (2 a1 + a2 - a3)x4 = 0 .
Primeiro, escrevemos o sistema linear associado:
Rightarrow (x1 + 2x4)a1 + (x2 + x4)a2 + (x3 - x4)a3 = 0
Sabemos pela relação dada que x1 + 2x4 = 0 x2 + x4 = 0 x3 - x4 = 0 . Substituindo x1 = -2x4 x2 = -x4 x3 = x4 na equação:
x1 = -2, x2 = -1, x3 = 1, x4 = 1
x1 = -4, x2 = -2, x3 = 2, x4 = 2
Para que essa combinação seja o vetor zero, os coeficientes de , e devem ser zero:
Vamos expressar , e em termos de :
Podemos atribuir valores diferentes a para encontrar soluções distintas. Por exemplo:
  1. Se :
Então, uma solução é .
  1. Se :
Outra solução é .

Passo 4

Parte ©: Queremos saber o que podemos dizer sobre as relações de dependência linear entre os elementos do conjunto .
Sabemos que é uma combinação linear de , ou seja, elas são linearmente dependentes, pois uma delas pode ser escrita como uma combinação das outras. Além disso, como conseguimos encontrar soluções não triviais para o sistema homogêneo , isso implica que as colunas do matrix são linearmente dependentes.
No entanto, em relação ao conjunto , se assumirmos que não há outras relações além daquela que define , podemos concluir que são linearmente independentes, ou seja, nenhuma delas pode ser escrita como uma combinação linear das outras duas. Isso significa que o conjunto forma uma base para o espaço que eles geram.

Resposta

(a) .
(b) Duas soluções distintas do sistema são e .
© Os vetores são linearmente independentes.

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