Vamos analisar o enunciado do exercício. Temos uma relação entre vetores: . O conteúdo envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços gerados por conjuntos de vetores e sistemas lineares. Para resolver as questões propostas, vamos precisar entender o que significa o espaço gerado por um conjunto de vetores (), dependência linear e como resolver sistemas lineares homogêneos.
Passo 2
Parte (a): Queremos mostrar que o espaço gerado pelos vetores é igual ao espaço gerado apenas por .
Primeiro, vamos lembrar que o espaço gerado por um conjunto de vetores é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Isso significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como .
No entanto, sabemos que pode ser expressa como uma combinação linear de devido à relação dada: . Isso significa que não adiciona nenhuma nova direção ao espaço já gerado por .
Portanto, qualquer combinação linear que envolva pode ser reescrita usando apenas , o que implica que os espaços gerados são iguais.
Passo 3
Parte (b): Precisamos encontrar duas soluções distintas para o sistema homogêneo , onde .
Primeiro, escrevemos o sistema linear associado:
Sabemos pela relação dada que . Substituindo na equação:
Para que essa combinação seja o vetor zero, os coeficientes de , e devem ser zero:
Vamos expressar , e em termos de :
Podemos atribuir valores diferentes a para encontrar soluções distintas. Por exemplo:
Sabemos que é uma combinação linear de , ou seja, elas são linearmente dependentes, pois uma delas pode ser escrita como uma combinação das outras. Além disso, como conseguimos encontrar soluções não triviais para o sistema homogêneo , isso implica que as colunas do matrix são linearmente dependentes.
No entanto, em relação ao conjunto , se assumirmos que não há outras relações além daquela que define , podemos concluir que são linearmente independentes, ou seja, nenhuma delas pode ser escrita como uma combinação linear das outras duas. Isso significa que o conjunto forma uma base para o espaço que eles geram.