Seja um sistema linear tal que uma forma escalonada da matriz aumentada desse sistema é
onde * é um número real qualquer. Determine, se existirem, os valores de alpha in R para os quais o sistema tenha uma única solução, infinitas soluções e nenhuma solução.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o problema está pedindo. Temos um sistema linear representado por e a matriz aumentada desse sistema está em forma escalonada, ou seja, já organizamos para facilitar a análise. O objetivo é descobrir para quais valores de esse sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a sistemas de equações lineares e matrizes escalonadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a forma escalonada de uma matriz nos ajuda a identificar pivôs e entender a solução do sistema. Um pivô é o primeiro elemento não nulo de uma linha. Se em alguma linha a parte dos coeficientes for toda zero e a parte aumentada (a última coluna) não for zero, isso indica inconsistência, ou seja, nenhuma solução. Se não houver linhas inconsistentes e o número de pivôs for igual ao número de incógnitas, o sistema tem uma única solução. Se houver menos pivôs do que incógnitas, o sistema tem infinitas soluções.
Aqui, os asteriscos representam qualquer número real, mas eles não afetam a análise dos pivôs além do primeiro. Vamos focar nos pivôs das linhas seguintes.
Passo 4
Analisando as linhas:
Linha 1: Já tem um pivô em .
Linha 2: O pivô é .
Linha 3: O pivô é .
Linha 4: O pivô é .
Linhas 5 e 6: Todas as entradas são zero.
Para que o sistema tenha uma única solução, todas as variáveis devem ser pivotadas, ou seja, devemos ter pivôs em todas as colunas de incógnitas.
Passo 5
Agora, vamos determinar os valores de que fazem cada pivô ser diferente de zero:
Segundo pivô:
Terceiro pivô:
Quarto pivô:
Então, para que todos os pivôs sejam diferentes de zero, não pode ser , ou .
Passo 6
Quando :
Todos os pivôs são diferentes de zero.
O sistema tem uma única solução.
Quando :
Segundo pivô:
Quarto pivô:
As linhas 2 e 4 terão todos os coeficientes zero, mas nas linhas aumentadas:
Linha 2:
Linha 4:
Como há uma linha com , o sistema é inconsistente.
Nenhuma solução.
Quando :
Segundo pivô:
Quarto pivô:
A linha 2 terá todos os coeficientes zero, mas o termo aumentada:
Sistema inconsistente.
Nenhuma solução.
Quando :
Segundo pivô:
Quarto pivô:
Linhas 2 e 4 terão todos os coeficientes zero, e termos aumentados:
Linha 2:
Linha 4:
Não há inconsistência, mas faltam pivôs para todas as incógnitas.