Seja A x=b um sistema linear tal que uma forma escalonada da matriz aumentada desse sistema é
(ccccc 1 & * & * & * & * 0 & alpha(alpha^2-1) & 0 & 0 & alpha+1 0 & 0 & alpha & 0 & alpha^2-1 0 & 0 & 0 & (alpha+1) alpha & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 )
onde * é um número real qualquer. Determine, se existirem, os valores de alpha in R para os quais o sistema tenha uma única solução, infinitas soluções e nenhuma solução.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o problema está pedindo. Temos um sistema linear representado por e a matriz aumentada desse sistema está em forma escalonada, ou seja, já organizamos para facilitar a análise. O objetivo é descobrir para quais valores de esse sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a sistemas de equações lineares e matrizes escalonadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a forma escalonada de uma matriz nos ajuda a identificar pivôs e entender a solução do sistema. Um pivô é o primeiro elemento não nulo de uma linha. Se em alguma linha a parte dos coeficientes for toda zero e a parte aumentada (a última coluna) não for zero, isso indica inconsistência, ou seja, nenhuma solução. Se não houver linhas inconsistentes e o número de pivôs for igual ao número de incógnitas, o sistema tem uma única solução. Se houver menos pivôs do que incógnitas, o sistema tem infinitas soluções.

Passo 3

Vamos analisar a matriz aumentada dada:
1 & * & * & * & * 0 & alpha(alpha^2-1) & 0 & 0 & alpha+1 0 & 0 & alpha & 0 & alpha^2-1 0 & 0 & 0 & (alpha+1)alpha & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0
Aqui, os asteriscos representam qualquer número real, mas eles não afetam a análise dos pivôs além do primeiro. Vamos focar nos pivôs das linhas seguintes.

Passo 4

Analisando as linhas:
  • Linha 1: Já tem um pivô em .
  • Linha 2: O pivô é .
  • Linha 3: O pivô é .
  • Linha 4: O pivô é .
  • Linhas 5 e 6: Todas as entradas são zero.
Para que o sistema tenha uma única solução, todas as variáveis devem ser pivotadas, ou seja, devemos ter pivôs em todas as colunas de incógnitas.

Passo 5

Agora, vamos determinar os valores de que fazem cada pivô ser diferente de zero:
  1. Segundo pivô:
  2. Terceiro pivô:
  3. Quarto pivô:
Então, para que todos os pivôs sejam diferentes de zero, não pode ser , ou .

Passo 6

  • Quando :
    • Todos os pivôs são diferentes de zero.
    • O sistema tem uma única solução.
  • Quando :
    • Segundo pivô:
    • Quarto pivô:
    • As linhas 2 e 4 terão todos os coeficientes zero, mas nas linhas aumentadas:
      • Linha 2:
      • Linha 4:
    • Como há uma linha com , o sistema é inconsistente.
    • Nenhuma solução.
  • Quando :
    • Segundo pivô:
    • Quarto pivô:
    • A linha 2 terá todos os coeficientes zero, mas o termo aumentada:
    • Sistema inconsistente.
    • Nenhuma solução.
  • Quando :
    • Segundo pivô:
    • Quarto pivô:
    • Linhas 2 e 4 terão todos os coeficientes zero, e termos aumentados:
      • Linha 2:
      • Linha 4:
    • Não há inconsistência, mas faltam pivôs para todas as incógnitas.
    • Infinitas soluções.

Resposta

  • Única solução quando .
  • Nenhuma solução quando ou .
  • Infinitas soluções quando .

Exercícios relacionados