Seja um computador binário de precisão simples, ou seja, de 32 bits, cujo sistema de ponto flutuante armazena 1 bit para o sinal do número, 8 bits para o expoente e 23 bits para a mantissa. Responda justificando cada item:
(b) ( 0,2 ponto) Qual o menor número positivo (em decimal) nele representável?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um computador que usa representação de números em ponto flutuante de precisão simples, ou seja, com 32 bits. Essa representação divide os bits da seguinte maneira:
  • 1 bit para o sinal do número,
  • 8 bits para o expoente,
  • 23 bits para a mantissa.
O que precisamos descobrir aqui é qual é o menor número positivo que esse sistema consegue representar em decimal. Para isso, vamos usar conceitos de representação de números em ponto flutuante e entender como esses bits são utilizados para determinar o valor mínimo.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar como os números são representados nesse sistema. Em ponto flutuante, um número é representado pela fórmula:
(-1)^Sinal times (1 + Mantissa) times 2^Expoente - Fator de Bias
Onde:
  • Sinal: 0 para positivo, 1 para negativo.
  • Mantissa: Representa a parte fracionária do número.
  • Expoente: Controla a escala do número.
  • Fator de Bias: Para 8 bits de expoente, o bias é 127.
Para encontrar o menor número positivo, consideramos o caso em que o expoente está no menor valor possível e a mantissa também está no menor valor possível.

Passo 3

Vamos calcular o menor expoente possível. Com 8 bits para o expoente e um bias de 127, o menor expoente armazenável é 1 (porque 0 é reservado para números subnormais). Isso significa que:
Expoente = 1 - 127 = -126
Agora, para o menor número positivo normalizado, a mantissa é 0 (já que adicionamos 1 na fórmula):
Número = 1 times 2^-126 approx 1.17549435 times 10^-38 ú
Contudo, se considerarmos números subnormais (quando o expoente é 0), a fórmula muda para:
(-1)^Sinal times (Mantissa) times 2^-126
O menor número subnormal ocorre quando a mantissa é a menor possível, ou seja, Número = 1 times 2^-23 times 2^-126 = 2^-149 approx 1.401298 times 10^-45 :
ú

Resposta

O menor número positivo representável nesse sistema é aproximadamente .

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