Seja um computador binário de precisão simples, ou seja, de 32 bits, cujo sistema de ponto flutuante armazena 1 bit para o sinal do número, 8 bits para o expoente e 23 bits para a mantissa. Responda justificando cada item:
(a) ( 0,2 ponto) Qual o maior número positivo (em decimal) nele representável?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir qual é o maior número positivo que um computador binário de precisão simples (32 bits) pode representar. A gente vai trabalhar com os conceitos de ponto flutuante, onde temos 1 bit para o sinal, 8 bits para o expoente e 23 bits para a mantissa. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do número em ponto flutuante e entender como os bits se traduzem em valores reais.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como os números são representados nesse sistema. A fórmula básica para um número em ponto flutuante é:
Onde:
  • é o bit de sinal.
  • é a mantissa (com um bit oculto inicial de 1).
  • é o expoente armazenado (com excesso de 127).
Como estamos procurando o maior número positivo, definimos .

Passo 3

Vamos maximizar o valor do número. Para isso:
  • A mantissa deve ser a maior possível, ou seja, todos os bits da mantissa são 1.
  • O expoente também deve ser o maior possível antes de alcançar valores especiais como infinito.
Com 8 bits para o expoente, o maior valor possível para é 254 (o valor 255 é reservado para infinito e NaN).

Passo 4

Agora, substituímos na fórmula:
A mantissa com todos os bits 1 é praticamente 2 (mais precisamente, ), mas para simplificar, consideramos aproximadamente 2.
Então:

Passo 5

Calculando , obtemos um valor extremamente grande. No entanto, para precisão, o maior número representável é:
Isso garante que estamos considerando todos os bits da mantissa corretamente.

Resposta

O maior número positivo representável é aproximadamente .

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Prove que o método iterativo de Gauss-Seidel converge para qualquer aproximação inicial e determine a função de iteração.
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Seja um computador binário de precisão simples, ou seja, de 32 bits, cujo sistema de ponto flutuante armazena 1 bit para o sinal do número, 8 bits para o expoente e 23 bits para a mantissa. Responda justificando cada item:
© ( 0,2 ponto) Qual o valor em decimal representado por 12,8 neste computador?
Seja um computador binário de precisão simples, ou seja, de 32 bits, cujo sistema de ponto flutuante armazena 1 bit para o sinal do número, 8 bits para o expoente e 23 bits para a mantissa. Responda justificando cada item:
(b) ( 0,2 ponto) Qual o menor número positivo (em decimal) nele representável?