Seja o conjunto dos tais que:
A dimensão de é:
(H) 15

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto que é formado por vetores de 19 componentes reais ( ). Esse conjunto é definido por um sistema de equações:
Nosso objetivo é encontrar a dimensão desse conjunto . Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas lineares e dimensões de espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as equações do sistema para ver se elas são independentes ou se algumas são redundantes. Olhando as primeiras três equações:
Essas igualdades conectam algumas das componentes do vetor, reduzindo a quantidade de variáveis independentes.

Passo 3

Agora, vamos ver a quarta equação:
Substituindo por e por (das primeiras duas equações), temos:
Essa equação simplifica para uma identidade verdadeira, o que significa que ela não adiciona nenhuma restrição extra ao sistema. Portanto, essa equação é redundante.

Passo 4

Como a quarta equação não acrescenta novas restrições, temos apenas três equações independentes:
Essas equações indicam que , , e são variáveis que determinam , , e , respectivamente.

Passo 5

O espaço original é , que tem dimensão 19. Cada equação independente que impomos reduz a dimensão desse espaço em 1.
Aqui, temos 3 equações independentes, então a dimensão de será:

Passo 6

No entanto, a alternativa sugerida é 15. Vamos verificar se há mais alguma restrição que não consideramos inicialmente. A quarta equação, apesar de ser redundante, pode implicar uma relação adicional se considerarmos variáveis dependentes das outras equações.
Ao observar novamente, notamos que as três primeiras equações conectam , , e a outras variáveis, mas não afetam diretamente a independência das demais 16 variáveis. Portanto, a dimensão correta realmente seria 16.

Resposta

A dimensão de é 16.

Exercícios relacionados

Sejam e . Em todos os casos abaixo, resolva o sistema indicado usando o método de Gauss.
(d) Resolva o sistema
Seja o conjunto dos tais que:
A dimensão de é:
© 2
Seja uma matriz quadrada de ordem que satisfaz onde .
(a) Calcule o determinate de para os e 4 .