Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto x5 = x2 x15 = x7 x12 = x13 x5 - x15 = x2 - x7 que é formado por vetores de 19 componentes reais (). Esse conjunto é definido por um sistema de equações:
Nosso objetivo é encontrar a dimensão desse conjunto . Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas lineares e dimensões de espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as equações do sistema para ver se elas são independentes ou se algumas são redundantes. Olhando as primeiras três equações:
x5 = x2 x15 = x7 x12 = x13
Essas igualdades conectam algumas das componentes do vetor, reduzindo a quantidade de variáveis independentes.
Passo 3
Agora, vamos ver a quarta equação:
x5 - x15 = x2 - x7
Substituindo x2 - x7 = x2 - x7 por e por (das primeiras duas equações), temos:
Essa equação simplifica para uma identidade verdadeira, o que significa que ela não adiciona nenhuma restrição extra ao sistema. Portanto, essa equação é redundante.
Passo 4
Como a quarta equação não acrescenta novas restrições, temos apenas três equações independentes:
x5 = x2 x15 = x7 x12 = x13
Essas equações indicam que , , e são variáveis que determinam , , e , respectivamente.
Passo 5
O espaço original é 19 - 3 = 16 , que tem dimensão 19. Cada equação independente que impomos reduz a dimensão desse espaço em 1.
Aqui, temos 3 equações independentes, então a dimensão de será:
Passo 6
No entanto, a alternativa sugerida é 15. Vamos verificar se há mais alguma restrição que não consideramos inicialmente. A quarta equação, apesar de ser redundante, pode implicar uma relação adicional se considerarmos variáveis dependentes das outras equações.
Ao observar novamente, notamos que as três primeiras equações conectam , , e a outras variáveis, mas não afetam diretamente a independência das demais 16 variáveis. Portanto, a dimensão correta realmente seria 16.