Sejam e . Em todos os casos abaixo, resolva o sistema indicado usando o método de Gauss.
(d) Resolva o sistema
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema que envolve uma matriz quadrada e algumas operações com ela. O enunciado nos dá a matriz e o vetor , e a equação que precisamos resolver é . Para resolver isso, vamos usar o método de Gauss, que é uma técnica para resolver sistemas de equações lineares aplicando operações nas linhas da matriz aumentada até chegar a uma forma mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que temos: . Podemos reescrever isso como:
Ou seja, precisamos encontrar a matriz e, em seguida, resolver o sistema linear resultante.
Passo 3
Vamos calcular . Isso significa multiplicar a matriz por ela mesma:
Calculando :
Calculando cada elemento:
Passo 4
Agora, vamos calcular :
Passo 5
Agora, montamos o sistema linear com a matriz que obtivemos e o vetor :
Vamos escrever isso como um sistema de equações:
Passo 6
Agora, aplicamos o método de Gauss. Primeiro, vamos formar a matriz aumentada:
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior.
Passo 7
Vamos começar normalizando a primeira linha dividindo por 4:
Agora, eliminamos o das outras linhas. Para a segunda linha, adicionamos 8 vezes a primeira linha:
Linha 2:
Linha 2:
Linha 2:
Linha 2:
Para a terceira linha, subtraímos 2 vezes a primeira linha:
Linha 3:
Linha 3:
Linha 3:
Linha 3:
A matriz fica assim:
Passo 8
Agora, vamos trabalhar com a segunda linha. Vamos normalizar dividindo por 14:
Simplificando:
Agora, eliminamos o da terceira linha subtraindo 5 vezes a segunda linha da terceira:
Linha 3:
Linha 3:
Linha 3:
A matriz agora é:
Passo 9
Agora, vamos resolver de baixo para cima. Primeiro, da terceira linha: