Sejam e . Em todos os casos abaixo, resolva o sistema indicado usando o método de Gauss.
(d) Resolva o sistema

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema que envolve uma matriz quadrada e algumas operações com ela. O enunciado nos dá a matriz e o vetor , e a equação que precisamos resolver é . Para resolver isso, vamos usar o método de Gauss, que é uma técnica para resolver sistemas de equações lineares aplicando operações nas linhas da matriz aumentada até chegar a uma forma mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que temos: . Podemos reescrever isso como:
Ou seja, precisamos encontrar a matriz e, em seguida, resolver o sistema linear resultante.

Passo 3

Vamos calcular . Isso significa multiplicar a matriz por ela mesma:
Calculando :
Calculando cada elemento:

Passo 4

Agora, vamos calcular :

Passo 5

Agora, montamos o sistema linear com a matriz que obtivemos e o vetor :
Vamos escrever isso como um sistema de equações:

Passo 6

Agora, aplicamos o método de Gauss. Primeiro, vamos formar a matriz aumentada:
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior.

Passo 7

Vamos começar normalizando a primeira linha dividindo por 4:
Agora, eliminamos o das outras linhas. Para a segunda linha, adicionamos 8 vezes a primeira linha:
Linha 2:
Linha 2:
Linha 2:
Linha 2:
Para a terceira linha, subtraímos 2 vezes a primeira linha:
Linha 3:
Linha 3:
Linha 3:
Linha 3:
A matriz fica assim:

Passo 8

Agora, vamos trabalhar com a segunda linha. Vamos normalizar dividindo por 14:
Simplificando:
Agora, eliminamos o da terceira linha subtraindo 5 vezes a segunda linha da terceira:
Linha 3:
Linha 3:
Linha 3:
A matriz agora é:

Passo 9

Agora, vamos resolver de baixo para cima. Primeiro, da terceira linha:

Passo 10

Agora, substituímos na segunda linha:
Calculando:

Passo 11

Finalmente, substituímos e na primeira linha:
Calculando:

Resposta

A solução do sistema é:

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