Sejam A=[ccc1 & 2 & 3 -1 & 2 & -3 2 & 2 & 2] e b=[l1 1 3]. Em todos os casos abaixo, resolva o sistema indicado usando o método de Gauss.
(d) Resolva o sistema A^2 X-A X-b=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema que envolve uma matriz quadrada e algumas operações com ela. O enunciado nos dá a matriz e o vetor , e a equação que precisamos resolver é . Para resolver isso, vamos usar o método de Gauss, que é uma técnica para resolver sistemas de equações lineares aplicando operações nas linhas da matriz aumentada até chegar a uma forma mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que temos: (A^2 - A)X = b . Podemos reescrever isso como:
Ou seja, precisamos encontrar a matriz e, em seguida, resolver o sistema linear resultante.

Passo 3

Vamos calcular A = 1 & 2 & 3 -1 & 2 & -3 2 & 2 & 2 . Isso significa multiplicar a matriz A^2 = 1(1) + 2(-1) + 3(2) & 1(2) + 2(2) + 3(2) & 1(3) + 2(-3) + 3(2) -1(1) + 2(-1) + (-3)(2) & -1(2) + 2(2) + (-3)(2) & -1(3) + 2(-3) + (-3)(2) 2(1) + 2(-1) + 2(2) & 2(2) + 2(2) + 2(2) & 2(3) + 2(-3) + 2(2) por ela mesma:
A^2 = 1 - 2 + 6 & 2 + 4 + 6 & 3 - 6 + 6 -1 - 2 - 6 & -2 + 4 - 6 & -3 - 6 - 6 2 - 2 + 4 & 4 + 4 + 4 & 6 - 6 + 4 = 5 & 12 & 3 -9 & -4 & -15 4 & 12 & 4
Calculando :
Calculando cada elemento:

Passo 4

Agora, vamos calcular A^2 - A = 5 & 12 & 3 -9 & -4 & -15 4 & 12 & 4 - 1 & 2 & 3 -1 & 2 & -3 2 & 2 & 2 = 5-1 & 12-2 & 3-3 -9-(-1) & -4-2 & -15-(-3) 4-2 & 12-2 & 4-2 = 4 & 10 & 0 -8 & -6 & -12 2 & 10 & 2 :

Passo 5

Agora, montamos o sistema linear 4 & 10 & 0 -8 & -6 & -12 2 & 10 & 2 x1 x2 x3 = 1 1 3 com a matriz que obtivemos e o vetor 4x1 + 10x2 + 0x3 = 1 -8x1 - 6x2 - 12x3 = 1 2x1 + 10x2 + 2x3 = 3 :
Vamos escrever isso como um sistema de equações:

Passo 6

Agora, aplicamos o método de Gauss. Primeiro, vamos formar a matriz aumentada:
[ccc|c 4 & 10 & 0 & 1 -8 & -6 & -12 & 1 2 & 10 & 2 & 3 ]
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior.

Passo 7

Vamos começar normalizando a primeira linha dividindo por 4:
[ccc|c 1 & 2.5 & 0 & 0.25 -8 & -6 & -12 & 1 2 & 10 & 2 & 3 ]
Agora, eliminamos o [ccc|c 1 & 2.5 & 0 & 0.25 0 & 14 & -12 & 3 0 & 5 & 2 & 2.5 ] das outras linhas. Para a segunda linha, adicionamos 8 vezes a primeira linha:
Linha 2:
Linha 2:
Linha 2:
Linha 2:
Para a terceira linha, subtraímos 2 vezes a primeira linha:
Linha 3:
Linha 3:
Linha 3:
Linha 3:
A matriz fica assim:

Passo 8

Agora, vamos trabalhar com a segunda linha. Vamos normalizar dividindo por 14:
[ccc|c 1 & 2.5 & 0 & 0.25 0 & 1 & -1214 & 314 0 & 5 & 2 & 2.5 ]
Simplificando:
[ccc|c 1 & 2.5 & 0 & 0.25 0 & 1 & -67 & 314 0 & 5 & 2 & 2.5 ]
Agora, eliminamos o [ccc|c 1 & 2.5 & 0 & 0.25 0 & 1 & -67 & 314 0 & 0 & 447 & 107 ] da terceira linha subtraindo 5 vezes a segunda linha da terceira:
Linha 3:
Linha 3:
Linha 3:
A matriz agora é:

Passo 9

Agora, vamos resolver de baixo para cima. Primeiro, da terceira linha:
447x3 = 107 implies x3 = 107 div 447 = 1044 = 522

Passo 10

Agora, substituímos x2 - 67x3 = 314 implies x2 = 314 + 67 times 522 na segunda linha:
x2 = 314 + 30154 = 33154 + 30154 = 63154 = 922
Calculando:

Passo 11

Finalmente, substituímos x1 + 2.5x2 = 0.25 implies x1 = 0.25 - 2.5x2 = 0.25 - 2.5 times 922 e x1 = 0.25 - 22.522 = 14 - 4544 = 1144 - 4544 = -3444 = -1722 na primeira linha:
Calculando:

Resposta

A solução do sistema é:
X = -dfrac1722 dfrac922 dfrac522

Exercícios relacionados