Seja o conjunto dos tais que:
A dimensão de é:
© 2

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo Utilizado
Estamos trabalhando com um conjunto composto por vetores de que satisfazem um sistema de equações lineares. O objetivo é determinar a dimensão desse conjunto . Para resolver isso, precisaremos entender conceitos de álgebra linear, especificamente a ideia de espaço vetorial, sistemas de equações lineares e o cálculo da dimensão de um subespaço.

Passo 2

Analisando as Equações do Sistema
O conjunto é definido pelas seguintes equações:
Vamos examinar cada equação para entender como elas relacionam as variáveis.

Passo 3

Identificando Equações Independentes
Primeiro, observamos que as primeiras três equações:
São equações independentes, pois cada uma relaciona pares distintos de variáveis sem redundância direta.
Agora, vamos analisar a quarta equação:
Substituindo as equações anteriores ( e ) na quarta equação:
Esta é uma identidade verdadeira para quaisquer valores de e , o que significa que a quarta equação não adiciona nenhuma restrição adicional ao sistema. Portanto, apenas as três primeiras equações são efetivamente independentes.

Passo 4

Calculando a Dimensão do Conjunto
Em um espaço vetorial , a dimensão de um subespaço definido por um sistema de equações lineares é dada por:
ã
Onde é a dimensão do espaço original e é o número de equações independentes.
No nosso caso:
Portanto:
ã

Resposta

A dimensão de é 16.

Exercícios relacionados

Sejam e . Em todos os casos abaixo, resolva o sistema indicado usando o método de Gauss.
© Substitua a linha 2 da matriz por e resolva o sistema.
Sejam e . Em todos os casos abaixo, resolva o sistema indicado usando o método de Gauss.
(d) Resolva o sistema
Seja o conjunto dos tais que:
A dimensão de é:
(H) 15