Estamos trabalhando com um conjunto composto por vetores de que satisfazem um sistema de equações lineares. O objetivo é determinar a dimensão desse conjunto . Para resolver isso, precisaremos entender conceitos de álgebra linear, especificamente a ideia de espaço vetorial, sistemas de equações lineares e o cálculo da dimensão de um subespaço.
Passo 2
Analisando as Equações do Sistema
O conjunto x5 = x2 x15 = x7 x12 = x13 x5 - x15 = x2 - x7 é definido pelas seguintes equações:
Vamos examinar cada equação para entender como elas relacionam as variáveis.
Passo 3
Identificando Equações Independentes
Primeiro, observamos que as primeiras três equações:
x5 = x2 x15 = x7 x12 = x13
São equações independentes, pois cada uma relaciona pares distintos de variáveis sem redundância direta.
Agora, vamos analisar a quarta equação:
x5 - x15 = x2 - x7
Substituindo as equações anteriores ( x2 - x7 = x2 - x7 e ) na quarta equação:
Esta é uma identidade verdadeira para quaisquer valores de e , o que significa que a quarta equação não adiciona nenhuma restrição adicional ao sistema. Portanto, apenas as três primeiras equações são efetivamente independentes.
Passo 4
Calculando a Dimensão do Conjunto dimensão = n - r
Em um espaço vetorial n = 19 e r = 3 , a dimensão de um subespaço definido por um sistema de equações lineares é dada por:
dimensão de S = 19 - 3 = 16 ã
Onde é a dimensão do espaço original e é o número de equações independentes.