Estamos trabalhando com um conjunto composto por vetores de que satisfazem um sistema de equações lineares. O objetivo é determinar a dimensão desse conjunto . Para resolver isso, precisaremos entender conceitos de álgebra linear, especificamente a ideia de espaço vetorial, sistemas de equações lineares e o cálculo da dimensão de um subespaço.
Passo 2
Analisando as Equações do Sistema
O conjunto é definido pelas seguintes equações:
Vamos examinar cada equação para entender como elas relacionam as variáveis.
Passo 3
Identificando Equações Independentes
Primeiro, observamos que as primeiras três equações:
São equações independentes, pois cada uma relaciona pares distintos de variáveis sem redundância direta.
Agora, vamos analisar a quarta equação:
Substituindo as equações anteriores ( e ) na quarta equação:
Esta é uma identidade verdadeira para quaisquer valores de e , o que significa que a quarta equação não adiciona nenhuma restrição adicional ao sistema. Portanto, apenas as três primeiras equações são efetivamente independentes.
Passo 4
Calculando a Dimensão do Conjunto
Em um espaço vetorial , a dimensão de um subespaço definido por um sistema de equações lineares é dada por:
ã
Onde é a dimensão do espaço original e é o número de equações independentes.