Quais séries convergem? E quais divergem?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre séries matemáticas! O enunciado pergunta se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender o que é uma série, como verificar sua convergência e aplicar esses conhecimentos nesse caso específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série. Uma série é a soma dos termos de uma sequência infinita. No nosso caso, temos a série
, que significa somar
Passo 3
Para determinar se a série converge ou diverge, podemos usar o Teste da Série Geométrica. Esse teste é útil quando os termos da série formam uma sequência geométrica, ou seja, cada termo é uma constante multiplicada pelo termo anterior.
Passo 4
Uma série geométrica tem a forma
, onde:
-
é o primeiro termo da série, -
é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, podemos reescrever a série
como
. Aqui,
e
.
Passo 5
O Teste da Série Geométrica diz que:
- Se
, a série converge e a soma é . - Se
, a série diverge.
Vamos verificar o valor de
:
Como
, temos que
.
Passo 6
Como
, segundo o teste, a série
converge. Além disso, podemos calcular a soma da série usando a fórmula
:
Resposta
A série
converge e a sua soma é
.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico de cada função a seguir:
(d)
(d)
Seja
um conjunto com
elementos e
um conjunto com
elementos. Encontre:
© O número de funções bijetivas.
© O número de funções
Quais séries convergem? E quais divergem?
Quais séries convergem? E quais divergem?