Quais séries convergem? E quais divergem? sumn=0^infty(e^-n)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre séries matemáticas! O enunciado pergunta se a série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender o que é uma série, como verificar sua convergência e aplicar esses conhecimentos nesse caso específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série. Uma série é a soma dos termos de uma sequência infinita. No nosso caso, temos a série , que significa somar

Passo 3

Para determinar se a série converge ou diverge, podemos usar o Teste da Série Geométrica. Esse teste é útil quando os termos da série formam uma sequência geométrica, ou seja, cada termo é uma constante multiplicada pelo termo anterior.

Passo 4

Uma série geométrica tem a forma , onde:
  • é o primeiro termo da série,
  • é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, podemos reescrever a série como . Aqui, e .

Passo 5

O Teste da Série Geométrica diz que:
  • Se , a série converge e a soma é .
  • Se , a série diverge.
Vamos verificar o valor de :
Como , temos que .

Passo 6

Como Soma = 11 - 1e = 1e - 1e = ee - 1 , segundo o teste, a série converge. Além disso, podemos calcular a soma da série usando a fórmula :

Resposta

A série converge e a sua soma é .

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