Seja
um conjunto qualquer. Definimos a relação de identidade (ou igualdade) em
, denotada por
, como sendo
; Determine a relação identidade em
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto qualquer chamado
e foi definido uma relação de identidade, ou seja, uma relação de igualdade dentro desse conjunto. Essa relação é representada por
e basicamente junta cada elemento do conjunto com ele mesmo. O exercício quer que a gente determine essa relação de identidade quando
for o conjunto dos números naturais, que a gente representa por
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma relação de identidade e como aplicá-la especificamente aos números naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma relação de identidade. Em termos simples, é um conjunto de pares onde cada elemento está relacionado apenas consigo mesmo. Ou seja, para cada elemento
em
, temos um par
na relação
.
Matematicamente, isso é representado por:
Isso significa que
inclui todos os pares onde o primeiro e o segundo elemento são iguais.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso ao conjunto dos números naturais,
. Os números naturais são, basicamente, os números que usamos para contar: 0, 1, 2, 3, e assim por diante.
Então, para determinar
, precisamos listar todos os pares
onde
e
são números naturais e
. Isso significa que cada número natural será pareado consigo mesmo.
Passo 4
Vamos exemplificar isso. Alguns dos pares na relação de identidade em
seriam:
-
-
-
-
- E assim por diante, para todos os números naturais.
Não existem pares onde
porque a relação de identidade só relaciona cada elemento consigo mesmo.
Resposta
Portanto, a relação de identidade em
é o conjunto de todos os pares de números naturais onde cada número está relacionado apenas consigo mesmo. Matemáticamente, fica assim:
Exercícios relacionados
Dadas as funções
e
, calcule
:
Calcule a função inversa
de cada função abaixo:
Sejam
e
relações em um conjunto
. Prove que: Se
e
são reflexivas, então a relação
é reflexiva;
Usando técnicas ou fórmulas de fatoração adequadas, simplique as expressões até que a expressão seja representada em formato não-fracionário.