Seja A um conjunto qualquer. Definimos a relação de identidade (ou igualdade) em A, denotada por IA, como sendo IA = {(a, b) pertence a A x A | a = b}; Determine a relação identidade em A = N;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto qualquer chamado A e foi definido uma relação de identidade, ou seja, uma relação de igualdade dentro desse conjunto. Essa relação é representada por IA e basicamente junta cada elemento do conjunto com ele mesmo. O exercício quer que a gente determine essa relação de identidade quando A for o conjunto dos números naturais, que a gente representa por N.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma relação de identidade e como aplicá-la especificamente aos números naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma relação de identidade. Em termos simples, é um conjunto de pares onde cada elemento está relacionado apenas consigo mesmo. Ou seja, para cada elemento a em A, temos um par na relação IA.
Matematicamente, isso é representado por:
Isso significa que IA inclui todos os pares onde o primeiro e o segundo elemento são iguais.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao conjunto dos números naturais, N. Os números naturais são, basicamente, os números que usamos para contar: 0, 1, 2, 3, e assim por diante.
Então, para determinar , precisamos listar todos os pares (a, b) onde a e b são números naturais e . Isso significa que cada número natural será pareado consigo mesmo.

Passo 4

Vamos exemplificar isso. Alguns dos pares na relação de identidade em N seriam:
  • (1, 1)
  • E assim por diante, para todos os números naturais.
Não existem pares onde a != b porque a relação de identidade só relaciona cada elemento consigo mesmo.

Resposta

Portanto, a relação de identidade em é o conjunto de todos os pares de números naturais onde cada número está relacionado apenas consigo mesmo. Matemáticamente, fica assim:

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