Seja
o conjunto das soluções do sistema
. Mostre que
é simplesmente uma reta.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares representado por
. O conjunto de todas as soluções desse sistema é chamado de
. A pergunta quer que a gente mostre que esse conjunto
forma uma reta. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas lineares, soluções particulares e soluções da equação homogênea associada.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar uma solução particular do sistema
. Isso significa encontrar um vetor
que, quando substituído na equação, satisfaz
. Essa solução é como um ponto específico onde nossa reta vai passar.
Passo 3
Em seguida, vamos olhar para o sistema homogêneo associado, que é
. As soluções desse sistema formam o espaço nulo de
, ou seja, todos os vetores
que satisfazem
. Esse espaço nulo nos dá a direção da nossa reta.
Passo 4
Supondo que o espaço nulo seja de dimensão 1 (ou seja, existe apenas uma direção independente que resolve
), então todas as soluções do sistema original
podem ser escritas como:
onde
é um número real qualquer e
é um vetor que gera o espaço nulo. Aqui,
é a solução particular e
representa todos os possíveis deslocamentos a partir de
na direção de
.
Passo 5
Essa expressão
descreve todos os pontos que estão alinhados numa reta: começamos em
e nos movemos na direção de
ilimitadamente. Isso mostra que o conjunto
das soluções é simplesmente uma reta no espaço.
Resposta
O conjunto
das soluções do sistema
forma uma reta.