Seja E o conjunto das soluções do sistema Ax=b. Mostre que E é simplesmente uma reta.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares representado por . O conjunto de todas as soluções desse sistema é chamado de . A pergunta quer que a gente mostre que esse conjunto forma uma reta. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas lineares, soluções particulares e soluções da equação homogênea associada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar uma solução particular do sistema . Isso significa encontrar um vetor que, quando substituído na equação, satisfaz . Essa solução é como um ponto específico onde nossa reta vai passar.

Passo 3

Em seguida, vamos olhar para o sistema homogêneo associado, que é . As soluções desse sistema formam o espaço nulo de , ou seja, todos os vetores que satisfazem . Esse espaço nulo nos dá a direção da nossa reta.

Passo 4

Supondo que o espaço nulo seja de dimensão 1 (ou seja, existe apenas uma direção independente que resolve x = xp + tv ), então todas as soluções do sistema original podem ser escritas como:
onde é um número real qualquer e é um vetor que gera o espaço nulo. Aqui, é a solução particular e representa todos os possíveis deslocamentos a partir de na direção de .

Passo 5

Essa expressão descreve todos os pontos que estão alinhados numa reta: começamos em e nos movemos na direção de ilimitadamente. Isso mostra que o conjunto das soluções é simplesmente uma reta no espaço.

Resposta

O conjunto das soluções do sistema forma uma reta.

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