Sejam G e H os conjuntos de funções contínuas. Mostre que G e H são conjuntos não vazios.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que os conjuntos e de funções contínuas não são vazios. Isso está relacionado ao conteúdo de funções contínuas. Para resolver, a gente vai precisar mostrar pelo menos uma função contínua que pertença a cada um desses conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o conjunto f(x) = x . Para provar que não é vazio, basta encontrar uma função contínua que esteja dentro dele. Por exemplo, a função identidade é contínua em todo o seu domínio. Isso porque, graficamente, ela forma uma linha reta sem quebras ou saltos.
Matematicamente, podemos expressar essa função assim:
Como é contínua, isso mostra que tem pelo menos essa função, então não está vazio.

Passo 3

Agora, vamos para o conjunto g(x) = c . Da mesma forma, queremos encontrar uma função contínua que pertença a . Um bom exemplo é a função constante , onde é um número real qualquer. Essa função também é contínua porque, independentemente do valor de , a saída sempre será , sem interrupções.
Expressamos essa função assim:
Como é contínua, temos que também contém pelo menos essa função, garantindo que não é vazio.

Resposta

Então, mostramos que tanto quanto contêm funções contínuas específicas, o que prova que e são conjuntos não vazios.

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