Sejam
e
os conjuntos de funções contínuas. Mostre que
e
são conjuntos não vazios.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que os conjuntos
e
de funções contínuas não são vazios. Isso está relacionado ao conteúdo de funções contínuas. Para resolver, a gente vai precisar mostrar pelo menos uma função contínua que pertença a cada um desses conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o conjunto
. Para provar que
não é vazio, basta encontrar uma função contínua que esteja dentro dele. Por exemplo, a função identidade
é contínua em todo o seu domínio. Isso porque, graficamente, ela forma uma linha reta sem quebras ou saltos.
Matematicamente, podemos expressar essa função assim:
Como
é contínua, isso mostra que
tem pelo menos essa função, então
não está vazio.
Passo 3
Agora, vamos para o conjunto
. Da mesma forma, queremos encontrar uma função contínua que pertença a
. Um bom exemplo é a função constante
, onde
é um número real qualquer. Essa função também é contínua porque, independentemente do valor de
, a saída sempre será
, sem interrupções.
Expressamos essa função assim:
Como
é contínua, temos que
também contém pelo menos essa função, garantindo que
não é vazio.
Resposta
Então, mostramos que tanto
quanto
contêm funções contínuas específicas, o que prova que
e
são conjuntos não vazios.