Sejam u=(4,3,-1) e v=(2,3,1). Calcule o ângulo entre u e v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o ângulo entre os vetores u = (4,3,-1) e v = (2,3,1). Aqui, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente produto escalar e norma dos vetores, para encontrar o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre os vetores u e v. O produto escalar é dado por:
u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3
Substituindo os valores:
u cdot v = (4)(2) + (3)(3) + (-1)(1) = 8 + 9 - 1 = 16

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma (ou comprimento) de cada vetor. A norma de um vetor a = (a1, a2, a3) é dada por:
||a|| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2
Para u:
||u|| = raiz4^2 + 3^2 + (-1)^2 = raiz16 + 9 + 1 = raiz26 approx 5,10
Para v:
||v|| = raiz2^2 + 3^2 + 1^2 = raiz4 + 9 + 1 = raiz14 approx 3,74

Passo 4

Com o produto escalar e as normas calculadas, podemos encontrar o cosseno do ângulo entre os vetores usando a fórmula:
cos(theta) = u cdot v||u|| cdot ||v||
Substituindo os valores:
cos(theta) = 165,10 times 3,74 approx 1619,07 approx 0,84
Para encontrar o ângulo theta, usamos a função arco cosseno:
theta = arccos(0,84) approx 33,0^circ

Resposta

O ângulo entre os vetores u e v é aproximadamente 33,0^circ.

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