Seja uma transformação linear em dada por Indique o núcleo de , a sua dimensão e uma base

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma transformação linear que atua em e é definida por . Nosso objetivo aqui é encontrar o núcleo dessa transformação , determinar a dimensão desse núcleo e também encontrar uma base para ele. Para isso, vamos precisar entender o que é o núcleo de uma transformação linear e como resolver sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados no vetor zero em . Ou seja:
Então, vamos resolver a equação .

Passo 3

Vamos escrever as equações resultantes de :
Da primeira equação, temos que .

Passo 4

Substituindo na segunda equação:
E na terceira equação, confirmamos novamente que .

Passo 5

Agora, observamos que a variável não aparece em nenhuma das equações. Isso significa que pode ser qualquer número real. Portanto, o núcleo é formado por todos os vetores onde , e é livre.

Passo 6

Expressando isso de forma vetorial, podemos escrever qualquer vetor no núcleo como:
Isso mostra que todo vetor no núcleo é um múltiplo do vetor .

Passo 7

Então, o núcleo de é:
Isso significa que o núcleo é uma reta ao longo do eixo em .

Passo 8

Para determinar a dimensão do núcleo, verificamos quantos vetores formam a base do núcleo. Como vimos que qualquer vetor no núcleo é um múltiplo de , temos que a base do núcleo é formada por esse único vetor.

Passo 9

Portanto, a dimensão do núcleo é 1, já que a base contém apenas um vetor.

Resposta

O núcleo de é o conjunto , sua dimensão é 1 e uma base para o núcleo é .

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