Seja uma transformação linear em dada por Indique o núcleo de , a sua dimensão e uma base
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma transformação linear que atua em e é definida por . Nosso objetivo aqui é encontrar o núcleo dessa transformação , determinar a dimensão desse núcleo e também encontrar uma base para ele. Para isso, vamos precisar entender o que é o núcleo de uma transformação linear e como resolver sistemas de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados no vetor zero em . Ou seja:
Então, vamos resolver a equação .
Passo 3
Vamos escrever as equações resultantes de :
Da primeira equação, temos que .
Passo 4
Substituindo na segunda equação:
E na terceira equação, confirmamos novamente que .
Passo 5
Agora, observamos que a variável não aparece em nenhuma das equações. Isso significa que pode ser qualquer número real. Portanto, o núcleo é formado por todos os vetores onde , e é livre.
Passo 6
Expressando isso de forma vetorial, podemos escrever qualquer vetor no núcleo como:
Isso mostra que todo vetor no núcleo é um múltiplo do vetor .
Passo 7
Então, o núcleo de é:
Isso significa que o núcleo é uma reta ao longo do eixo em .
Passo 8
Para determinar a dimensão do núcleo, verificamos quantos vetores formam a base do núcleo. Como vimos que qualquer vetor no núcleo é um múltiplo de , temos que a base do núcleo é formada por esse único vetor.
Passo 9
Portanto, a dimensão do núcleo é 1, já que a base contém apenas um vetor.
Resposta
O núcleo de é o conjunto , sua dimensão é 1 e uma base para o núcleo é .