Seja um conjunto de vetores linearmente independente (LI). Se o conjunto é igual a mais um vetor que não pertence a , então é LI? é LD? B pode ser LD? Justifique sua resposta.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos um conjunto de vetores que são linearmente independentes (LI). Isso significa que nenhum vetor em pode ser escrito como combinação linear dos outros vetores em . Agora, criamos um novo conjunto adicionando um vetor que não pertence a . As perguntas são:
  1. O conjunto é LI?
  2. O conjunto é linearmente dependente (LD)?
  3. O conjunto pode ser LD?
Para responder, vamos precisar entender os conceitos de independência linear e dependência linear, além de como adicionar um vetor a um conjunto LI afeta essas propriedades.

Passo 2

Independência Linear (LI): Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero.
Dependência Linear (LD): Um conjunto de vetores é linearmente dependente se existe pelo menos uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero, ou seja, pelo menos um vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Quando adicionamos um vetor a um conjunto LI , a independência ou dependência de depende se está no espaço gerado por , ou seja, se pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em .

Passo 3

Caso 1: Se não está no espaço gerado por , então não pode ser escrito como combinação linear dos vetores em . Nesse caso, o conjunto continua sendo linearmente independente, porque não há vetor em que possa ser expresso como combinação dos outros.
Caso 2: Se está no espaço gerado por , então existe uma combinação linear dos vetores em que resulta em . Isso significa que pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em , tornando o conjunto linearmente dependente.

Passo 4

Dado que não pertence ao conjunto , mas pode ou não estar no espaço gerado por , temos duas possibilidades:
  • Se não está no espaço gerado por , então é LI.
  • Se está no espaço gerado por , então é LD.
Portanto, a adição do vetor pode preservar a independ��ncia linear ou introduzir dependência linear, dependendo da relação de com .

Passo 5

Respondendo às perguntas:
  1. é LI? Pode ser, se não está no espaço gerado por .
  2. é LD? Pode ser, se está no espaço gerado por .
  3. pode ser LD? Sim, dependendo de como se relaciona com os vetores em .

Resposta

O conjunto pode ser linearmente independente ou linearmente dependente**, dependendo se o vetor está ou não no espaço gerado por . Assim:
  • é LI se não está no espaço gerado por .
  • é LD se está no espaço gerado por .
  • Portanto, pode ser LD dependendo da relação de com .

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