Seja
um conjunto de vetores linearmente independente (LI). Se o conjunto
é igual a
mais um vetor
que não pertence a
, então
é LI?
é LD? B pode ser LD? Justifique sua resposta.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos um conjunto
de vetores que são linearmente independentes (LI). Isso significa que nenhum vetor em
pode ser escrito como combinação linear dos outros vetores em
. Agora, criamos um novo conjunto
adicionando um vetor
que não pertence a
. As perguntas são:
- O conjunto
é LI? - O conjunto
é linearmente dependente (LD)? - O conjunto
pode ser LD?
Para responder, vamos precisar entender os conceitos de independência linear e dependência linear, além de como adicionar um vetor a um conjunto LI afeta essas propriedades.
Passo 2
Independência Linear (LI): Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero.
Dependência Linear (LD): Um conjunto de vetores é linearmente dependente se existe pelo menos uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero, ou seja, pelo menos um vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Quando adicionamos um vetor
a um conjunto LI
, a independência ou dependência de
depende se
está no espaço gerado por
, ou seja, se
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em
.
Passo 3
Caso 1: Se
não está no espaço gerado por
, então
não pode ser escrito como combinação linear dos vetores em
. Nesse caso, o conjunto
continua sendo linearmente independente, porque não há vetor em
que possa ser expresso como combinação dos outros.
Caso 2: Se
está no espaço gerado por
, então existe uma combinação linear dos vetores em
que resulta em
. Isso significa que
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em
, tornando o conjunto
linearmente dependente.
Passo 4
Dado que
não pertence ao conjunto
, mas pode ou não estar no espaço gerado por
, temos duas possibilidades:
- Se
não está no espaço gerado por , então é LI. - Se
está no espaço gerado por , então é LD.
Portanto, a adição do vetor
pode preservar a independ��ncia linear ou introduzir dependência linear, dependendo da relação de
com
.
Passo 5
Respondendo às perguntas:
-
é LI? Pode ser, se não está no espaço gerado por . -
é LD? Pode ser, se está no espaço gerado por . -
pode ser LD? Sim, dependendo de como se relaciona com os vetores em .
Resposta
O conjunto
pode ser linearmente independente ou linearmente dependente**, dependendo se o vetor
está ou não no espaço gerado por
. Assim:
-
é LI se não está no espaço gerado por . -
é LD se está no espaço gerado por . - Portanto,
pode ser LD dependendo da relação de com .
Exercícios relacionados
Sejam
e
. Mostre que
.
Verifique se os subconjuntos abaixo são subespaços de
:
Seja
o conjunto de todas as triplas ordenadas de números reais munido das operações de soma e multiplicação por escalar definidas por:
Como a multiplicação por escalar é definida de maneira diferente da usual, usamos um símbolo diferente para evitar confusão com a multiplicação usual de um vetor por um escalar.
é um espaço vetorial em relação a essas operações? Justifique.
Seja
e
Se dois vetores
e
estão em
, será que
está em
? Por quê ?