Seja
e
Se dois vetores
e
estão em
, será que
está em
? Por quê ?
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto
. O exercício quer saber se, ao somarmos dois vetores
e
que pertencem a
, o vetor resultante
também estará em
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre vetores, soma de vetores e as condições que definem o conjunto
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que um vetor está em
. Um vetor
está em
se ambas as componentes
e
são maiores que zero. O mesmo vale para o vetor
.
Passo 3
Agora, vamos somar os vetores
e
. A soma de dois vetores é feita somando suas respectivas componentes:
Passo 4
Para que
esteja em
, ambas as componentes
e
precisam ser maiores que zero. Vamos verificar isso.
Passo 5
Sabemos que
e
. Portanto:
O mesmo raciocínio vale para as componentes
:
Passo 6
Como ambas as componentes do vetor
são maiores que zero, podemos concluir que
também pertence a
.
Resposta
Sim,
está em
porque a soma das componentes
e
de
e
é positiva, mantendo
dentro do conjunto
.
Exercícios relacionados
Seja
o conjunto de todas as triplas ordenadas de números reais munido das operações de soma e multiplicação por escalar definidas por:
Como a multiplicação por escalar é definida de maneira diferente da usual, usamos um símbolo diferente para evitar confusão com a multiplicação usual de um vetor por um escalar.
é um espaço vetorial em relação a essas operações? Justifique.
Seja
um conjunto de vetores linearmente independente (LI). Se o conjunto
é igual a
mais um vetor
que não pertence a
, então
é LI?
é LD? B pode ser LD? Justifique sua resposta.
Verifique se os subconjuntos abaixo são subespaços de
:
Para quais valores de
os vetores
e
formam um conjunto linearmente dependente (LD) em
.