Seja W=(x, y) in R^2 ; x>0 e y>0 Se dois vetores u e v estão em W, será que u+v está em W ? Por quê ?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto . O exercício quer saber se, ao somarmos dois vetores e que pertencem a , o vetor resultante também estará em . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre vetores, soma de vetores e as condições que definem o conjunto .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que um vetor está em . Um vetor está em se ambas as componentes e são maiores que zero. O mesmo vale para o vetor .

Passo 3

Agora, vamos somar os vetores u + v = (ux + vx, uy + vy) e . A soma de dois vetores é feita somando suas respectivas componentes:

Passo 4

Para que esteja em , ambas as componentes e precisam ser maiores que zero. Vamos verificar isso.

Passo 5

Sabemos que ux + vx > 0 + 0 implies ux + vx > 0 e uy + vy > 0 + 0 implies uy + vy > 0 . Portanto:
O mesmo raciocínio vale para as componentes :

Passo 6

Como ambas as componentes do vetor são maiores que zero, podemos concluir que também pertence a .

Resposta

Sim, está em porque a soma das componentes e de e é positiva, mantendo dentro do conjunto .

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