Seja e Se dois vetores e estão em , será que está em ? Por quê ?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto . O exercício quer saber se, ao somarmos dois vetores e que pertencem a , o vetor resultante também estará em . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre vetores, soma de vetores e as condições que definem o conjunto .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que um vetor está em . Um vetor está em se ambas as componentes e são maiores que zero. O mesmo vale para o vetor .

Passo 3

Agora, vamos somar os vetores e . A soma de dois vetores é feita somando suas respectivas componentes:

Passo 4

Para que esteja em , ambas as componentes e precisam ser maiores que zero. Vamos verificar isso.

Passo 5

Sabemos que e . Portanto:
O mesmo raciocínio vale para as componentes :

Passo 6

Como ambas as componentes do vetor são maiores que zero, podemos concluir que também pertence a .

Resposta

Sim, está em porque a soma das componentes e de e é positiva, mantendo dentro do conjunto .

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Seja o conjunto de todas as triplas ordenadas de números reais munido das operações de soma e multiplicação por escalar definidas por:
Como a multiplicação por escalar é definida de maneira diferente da usual, usamos um símbolo diferente para evitar confusão com a multiplicação usual de um vetor por um escalar. é um espaço vetorial em relação a essas operações? Justifique.
Seja um conjunto de vetores linearmente independente (LI). Se o conjunto é igual a mais um vetor que não pertence a , então é LI? é LD? B pode ser LD? Justifique sua resposta.
Verifique se os subconjuntos abaixo são subespaços de :
Para quais valores de os vetores e formam um conjunto linearmente dependente (LD) em .