Seja o conjunto de todas as triplas ordenadas de números reais munido das operações de soma e multiplicação por escalar definidas por:
Como a multiplicação por escalar é definida de maneira diferente da usual, usamos um símbolo diferente para evitar confusão com a multiplicação usual de um vetor por um escalar. é um espaço vetorial em relação a essas operações? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que analisar se o conjunto , que é composto por todas as triplas ordenadas de números reais, forma um espaço vetorial com as operações de soma e multiplicação por escalar definidas de um jeito especial. Para resolver isso, vamos precisar entender os axiomas de um espaço vetorial e verificar se todas essas regras são satisfeitas com as operações dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Basicamente, é um conjunto de vetores onde você pode somar dois vetores e multiplicar um vetor por um escalar, seguindo certas regras (axiomas). Esses axiomas garantem que a estrutura seja bem comportada e que possamos trabalhar com ela sem problemas.

Passo 3

Os principais axiomas de um espaço vetorial que precisamos verificar são:
  1. Fechamento pela soma: A soma de dois vetores está no conjunto.
  2. Fechamento pela multiplicação por escalar: O vetor multiplicado por um escalar está no conjunto.
  3. Existência do vetor zero: Existe um vetor que, somado a qualquer outro, não altera o vetor.
  4. Existência de inversos aditivos: Para cada vetor, existe outro que soma com ele para dar o vetor zero.
  5. Associatividade da soma: A soma de vetores é associativa.
  6. Comutatividade da soma: A soma de vetores é comutativa.
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores.
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares.
  9. Compatibilidade da multiplicação por escalares.
  10. Existência de um escalar neutro para a multiplicação.

Passo 4

Vamos verificar alguns desses axiomas com as operações dadas:
  • Soma de vetores: A soma está definida de forma usual, então provavelmente não teremos problemas aqui.
  • Multiplicação por escalar: Aqui a coisa muda! A multiplicação por escalar está definida como:
    Ou seja, apenas a primeira componente é multiplicada pelo escalar, enquanto as outras permanecem iguais.

Passo 5

Agora, vamos ver se essa definição de multiplicação por escalar satisfaz os axiomas de um espaço vetorial. Vamos checar, por exemplo, a distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores.
Segundo o axioma, deveríamos ter:
Por outro lado:
Essas duas expressões são iguais, então esse axioma está satisfeito.

Passo 6

Vamos checar outro axioma: a compatibilidade da multiplicação por escalares. Segundo esse axioma, deveríamos ter:
E por outro lado:
Essas duas expressões também são iguais, então esse axioma também está satisfeito.

Passo 7

Agora, vamos verificar um ponto crítico: a existência do vetor zero. O vetor zero deveria satisfazer:
Vamos ver qual é o vetor zero no nosso conjunto . Ele seria , pois somar qualquer vetor com não altera o vetor. Vamos aplicar a multiplicação por escalar:
Então, o vetor zero está ok.

Passo 8

Agora, vamos testar a existência de inversos aditivos. Para qualquer vetor , deve existir tal que:
Isso também funciona com a nossa definição de soma, então está tudo certo por aqui.

Passo 9

Por fim, vamos testar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares:
E
Claramente, essas duas expressões não são iguais, a menos que , o que não é sempre o caso.

Resposta

Não, não é um espaço vetorial com as operações definidas, porque a multiplicação por escalar não satisfaz todos os axiomas necessários, especificamente a distributividade em relação à soma de escalares não é válida para todas as componentes.

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