Seja
o conjunto de todas as triplas ordenadas de números reais munido das operações de soma e multiplicação por escalar definidas por:
Como a multiplicação por escalar é definida de maneira diferente da usual, usamos um símbolo diferente para evitar confusão com a multiplicação usual de um vetor por um escalar.
é um espaço vetorial em relação a essas operações? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que analisar se o conjunto
, que é composto por todas as triplas ordenadas de números reais, forma um espaço vetorial com as operações de soma e multiplicação por escalar definidas de um jeito especial. Para resolver isso, vamos precisar entender os axiomas de um espaço vetorial e verificar se todas essas regras são satisfeitas com as operações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Basicamente, é um conjunto de vetores onde você pode somar dois vetores e multiplicar um vetor por um escalar, seguindo certas regras (axiomas). Esses axiomas garantem que a estrutura seja bem comportada e que possamos trabalhar com ela sem problemas.
Passo 3
Os principais axiomas de um espaço vetorial que precisamos verificar são:
- Fechamento pela soma: A soma de dois vetores está no conjunto.
- Fechamento pela multiplicação por escalar: O vetor multiplicado por um escalar está no conjunto.
- Existência do vetor zero: Existe um vetor que, somado a qualquer outro, não altera o vetor.
- Existência de inversos aditivos: Para cada vetor, existe outro que soma com ele para dar o vetor zero.
- Associatividade da soma: A soma de vetores é associativa.
- Comutatividade da soma: A soma de vetores é comutativa.
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores.
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares.
- Compatibilidade da multiplicação por escalares.
- Existência de um escalar neutro para a multiplicação.
Passo 4
Vamos verificar alguns desses axiomas com as operações dadas:
-
Soma de vetores: A soma está definida de forma usual, então provavelmente não teremos problemas aqui.
-
Multiplicação por escalar: Aqui a coisa muda! A multiplicação por escalar está definida como:Ou seja, apenas a primeira componente é multiplicada pelo escalar, enquanto as outras permanecem iguais.
Passo 5
Agora, vamos ver se essa definição de multiplicação por escalar satisfaz os axiomas de um espaço vetorial. Vamos checar, por exemplo, a distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores.
Segundo o axioma, deveríamos ter:
Por outro lado:
Essas duas expressões são iguais, então esse axioma está satisfeito.
Passo 6
Vamos checar outro axioma: a compatibilidade da multiplicação por escalares. Segundo esse axioma, deveríamos ter:
E por outro lado:
Essas duas expressões também são iguais, então esse axioma também está satisfeito.
Passo 7
Agora, vamos verificar um ponto crítico: a existência do vetor zero. O vetor zero deveria satisfazer:
Vamos ver qual é o vetor zero no nosso conjunto
. Ele seria
, pois somar qualquer vetor com
não altera o vetor. Vamos aplicar a multiplicação por escalar:
Então, o vetor zero está ok.
Passo 8
Agora, vamos testar a existência de inversos aditivos. Para qualquer vetor
, deve existir
tal que:
Isso também funciona com a nossa definição de soma, então está tudo certo por aqui.
Passo 9
Por fim, vamos testar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares:
E
Claramente, essas duas expressões não são iguais, a menos que
, o que não é sempre o caso.
Resposta
Não,
não é um espaço vetorial com as operações definidas, porque a multiplicação por escalar não satisfaz todos os axiomas necessários, especificamente a distributividade em relação à soma de escalares não é válida para todas as componentes.
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Seja
um conjunto de vetores linearmente independente (LI). Se o conjunto
é igual a
mais um vetor
que não pertence a
, então
é LI?
é LD? B pode ser LD? Justifique sua resposta.
Sejam
e
. Mostre que
.
Seja
e
Se dois vetores
e
estão em
, será que
está em
? Por quê ?
Verifique se os subconjuntos abaixo são subespaços de
: