Seja o conjunto
, sendo
.
(a) Determine o subespaço S gerado pelo conjunto A. Determine sua equação.
(a) Determine o subespaço S gerado pelo conjunto A. Determine sua equação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto
, onde
e
. O que a gente precisa fazer aqui é descobrir o subespaço
que é gerado por esse conjunto
e também encontrar a equação que define esse subespaço. Para isso, vamos usar conceitos de combinação linear e de subespaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o subespaço gerado por
. Essencialmente,
é formado por todas as combinações lineares possíveis dos vetores
e
. Ou seja, qualquer vetor
em
pode ser escrito como:
onde
e
são escalares (números reais).
Passo 3
Vamos expressar isso com os vetores dados:
Então, qualquer vetor
em
deve satisfazer:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema para expressar
em termos de
. Da segunda equação, temos:
Substituindo
na primeira equação:
E substituindo
e
na terceira equação:
Passo 5
Chegamos à relação:
Essa é a equação que relaciona as coordenadas
dos vetores no subespaço
. Então, qualquer vetor
em
deve satisfazer essa equação.
Resposta
O subespaço
gerado pelo conjunto
é formado por todos os vetores
que satisfazem a equação:
Exercícios relacionados
Calcule as normas dos vetores espaciais a seguir:
Em cada item, verifique se os pontos pertencem a reta.
.
Em cada item, escreva equações paramétricas da reta que passa pelos pontos dados.
.
Determinar as distâncias dos seguintes pares de pontos:
a) e
R: 3
a)