Seja o conjunto A=w1, w2, sendo w1=(2,3,4), w2=(-1,0,1).
(a) Determine o subespaço S gerado pelo conjunto A. Determine sua equação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto , onde e . O que a gente precisa fazer aqui é descobrir o subespaço que é gerado por esse conjunto e também encontrar a equação que define esse subespaço. Para isso, vamos usar conceitos de combinação linear e de subespaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o subespaço gerado por v = alpha w1 + beta w2 . Essencialmente, é formado por todas as combinações lineares possíveis dos vetores e . Ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como:
onde e são escalares (números reais).

Passo 3

Vamos expressar isso com os vetores dados:
v = alpha (2, 3, 4) + beta (-1, 0, 1) = (2alpha - beta, , 3alpha, , 4alpha + beta)
Então, qualquer vetor x = 2alpha - beta y = 3alpha z = 4alpha + beta em deve satisfazer:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema para expressar alpha = y3 em termos de x = 2(y3) - beta Rightarrow beta = 2y3 - x . Da segunda equação, temos:
z = 4(y3) + (2y3 - x) = 4y3 + 2y3 - x = 2y - x
Substituindo na primeira equação:
E substituindo e na terceira equação:

Passo 5

Chegamos à relação:
z = 2y - x
Essa é a equação que relaciona as coordenadas dos vetores no subespaço . Então, qualquer vetor em deve satisfazer essa equação.

Resposta

O subespaço z = 2y - x gerado pelo conjunto é formado por todos os vetores que satisfazem a equação:

Exercícios relacionados

Calcule as normas dos vetores espaciais a seguir:
m=(-10, raiz30, raiz39)
Em cada item, verifique se os pontos pertencem a reta.
P(-4,-5,3), Q(-7,10,2), r:(x, y, z)=(t-5,2-4 t, 2).
Em cada item, escreva equações paramétricas da reta que passa pelos pontos dados.
P(2,-6,3), Q(2,5,2).
Determinar as distâncias dos seguintes pares de pontos:
a) A=(0,0,0) e B=(2,-2,1) R: 3