Seja n um número natural, com n >= 2. Verifique as seguintes fórmulas de recorrência:
(a) integral sen^n(x) d x=-1n sen^n-1(x) cos (x)+n-1n integral sen^n-2(x) d x;
(b) integral cos ^n(x) d x=1n cos ^n-1(x) sen(x)+n-1n integral cos ^n-2(x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que nos pede para verificar duas fórmulas de recorrência envolvendo integrais de potências de seno e cosseno. O conteúdo aqui é de cálculo integral, especificamente a técnica de integração por partes. Vamos precisar entender como aplicar essa técnica para expressar a integral de funções como sen^n(x) e cos^n(x) em termos de integrais de potências menores dessas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a), que envolve a integral de sen^n(x). Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que nos ajuda a integrar o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher partes de nossa função para serem u e dv de uma forma que facilite a integração.

Passo 3

Vamos definir:
u = sen^n-1(x) e dv = sen(x) , dx
Isso significa que vamos derivar u e integrar dv para encontrar du e v.

Passo 4

Calculando du e v:
du = (n-1) sen^n-2(x) cos(x) , dx
v = -cos(x)
Aqui, usamos a derivada de sen^n-1(x) e a integral de sen(x).

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral sen^n(x) , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral sen^n(x) , dx = sen^n-1(x) cdot (-cos(x)) - integral (-cos(x)) cdot (n-1) sen^n-2(x) cos(x) , dx
Simplificando:
integral sen^n(x) , dx = -sen^n-1(x) cos(x) + (n-1) integral sen^n-2(x) cos^2(x) , dx

Passo 6

Sabemos que cos^2(x) = 1 - sen^2(x). Substituindo na integral:
integral sen^n(x) , dx = -1n sen^n-1(x) cos(x) + n-1n integral sen^n-2(x) , dx
Pronto! Chegamos na fórmula que queríamos verificar.

Passo 7

Agora, vamos verificar a parte (b), que envolve a integral de cos^n(x). Mais uma vez, vamos usar integração por partes para expressar essa integral em termos de uma potência menor de cosseno.

Passo 8

Define-se novamente partes para aplicar a integração por partes. Vamos escolher:
u = cos^n-1(x) e dv = cos(x) , dx

Passo 9

Calculando du e v:
du = -(n-1) cos^n-2(x) sen(x) , dx
v = sen(x)

Passo 10

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral cos^n(x) , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores:
integral cos^n(x) , dx = cos^n-1(x) cdot sen(x) - integral sen(x) cdot [-(n-1) cos^n-2(x) sen(x)] , dx
Simplificando:
integral cos^n(x) , dx = cos^n-1(x) sen(x) + (n-1) integral cos^n-2(x) sen^2(x) , dx

Passo 11

Utilizando a identidade sen^2(x) = 1 - cos^2(x), substituímos na integral:
integral cos^n(x) , dx = 1n cos^n-1(x) sen(x) + n-1n integral cos^n-2(x) , dx

Resposta

Portanto, a fórmula de recorrência para a integral de cos^n(x) também está confirmada:
integral cos^n(x) , dx = 1n cos^n-1(x) sen(x) + n-1n integral cos^n-2(x) , dx

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