Seja
um número natural, com
. Verifique as seguintes fórmulas de recorrência:
(a)
;
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício que nos pede para verificar duas fórmulas de recorrência envolvendo integrais de potências de seno e cosseno. O conteúdo aqui é de cálculo integral, especificamente a técnica de integração por partes. Vamos precisar entender como aplicar essa técnica para expressar a integral de funções como
e
em termos de integrais de potências menores dessas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a), que envolve a integral de
. Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que nos ajuda a integrar o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
Aqui, precisamos escolher partes de nossa função para serem
e
de uma forma que facilite a integração.
Passo 3
Vamos definir:
Isso significa que vamos derivar
e integrar
para encontrar
e
.
Passo 4
Calculando
e
:
Aqui, usamos a derivada de
e a integral de
.
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 6
Sabemos que
. Substituindo na integral:
Pronto! Chegamos na fórmula que queríamos verificar.
Passo 7
Agora, vamos verificar a parte (b), que envolve a integral de
. Mais uma vez, vamos usar integração por partes para expressar essa integral em termos de uma potência menor de cosseno.
Passo 8
Define-se novamente partes para aplicar a integração por partes. Vamos escolher:
Passo 9
Calculando
e
:
Passo 10
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 11
Utilizando a identidade
, substituímos na integral:
Resposta
Portanto, a fórmula de recorrência para a integral de
também está confirmada: