Seja . Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar a raiz da função com uma precisão de 0,005. Isso está ligado ao conteúdo de Métodos Numéricos, especificamente o Método da Bisseção, que é uma técnica para aproximar raízes de funções contínuas. Vamos precisar entender como identificar um intervalo onde a função muda de sinal e aplicar a bisseção repetidamente até alcançar a precisão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar um intervalo onde a função muda de sinal, ou seja, onde é positivo e é negativo, ou vice-versa. Isso garante, pela Teorema do Valor Intermediário, que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Vamos testar alguns valores:
  • (positivo)
  • (positivo)
  • (negativo)
Então, nosso intervalo inicial é , pois a função muda de positivo para negativo nesse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Método da Bisseção. A ideia é dividir o intervalo ao meio, calcular o valor da função nesse ponto médio e verificar em qual subintervalo a função muda de sinal. Repetimos esse processo até que o tamanho do intervalo seja menor que a precisão desejada (0,005).
  1. Primeira iteração:
    • ,
    • Ponto médio:
    • (negativo)
    • Como e , a nova intervalo é .
  2. Segunda iteração:
    • ,
    • Ponto médio:
    • (negativo)
    • Nova intervalo: .
  3. Terceira iteração:
    • ,
    • Ponto médio:
    • (negativo)
    • Nova intervalo: .
  4. Quarta iteração:
    • ,
    • Ponto médio:
    • (positivo)
    • Como e , nova intervalo: .
  5. Quinta iteração:
    • ,
    • Tamanho do intervalo: > 0,005
    • Ponto médio:
    • (negativo)
    • Nova intervalo: .
  6. Sexta iteração:
    • ,
    • Tamanho do intervalo: > 0,005
    • Ponto médio:
    • (positivo)
    • Nova intervalo: .
  7. Sétima iteração:
    • ,
    • Tamanho do intervalo: < 0,005
    • Paramos aqui, pois alcançamos a precisão desejada.

Resposta

A raiz aproximada de com precisão de 0,005 é .

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