Seja
. Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar a raiz da função
com uma precisão de 0,005. Isso está ligado ao conteúdo de Métodos Numéricos, especificamente o Método da Bisseção, que é uma técnica para aproximar raízes de funções contínuas. Vamos precisar entender como identificar um intervalo onde a função muda de sinal e aplicar a bisseção repetidamente até alcançar a precisão desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar um intervalo
onde a função
muda de sinal, ou seja, onde
é positivo e
é negativo, ou vice-versa. Isso garante, pela Teorema do Valor Intermediário, que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Vamos testar alguns valores:
-
(positivo) -
(positivo) -
(negativo)
Então, nosso intervalo inicial é
, pois a função muda de positivo para negativo nesse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Método da Bisseção. A ideia é dividir o intervalo ao meio, calcular o valor da função nesse ponto médio e verificar em qual subintervalo a função muda de sinal. Repetimos esse processo até que o tamanho do intervalo seja menor que a precisão desejada (0,005).
-
Primeira iteração:
-
, - Ponto médio:
-
(negativo) - Como
e , a nova intervalo é .
-
-
Segunda iteração:
-
, - Ponto médio:
-
(negativo) - Nova intervalo:
.
-
-
Terceira iteração:
-
, - Ponto médio:
-
(negativo) - Nova intervalo:
.
-
-
Quarta iteração:
-
, - Ponto médio:
-
(positivo) - Como
e , nova intervalo: .
-
-
Quinta iteração:
-
, - Tamanho do intervalo:
> 0,005 - Ponto médio:
-
(negativo) - Nova intervalo:
.
-
-
Sexta iteração:
-
, - Tamanho do intervalo:
> 0,005 - Ponto médio:
-
(positivo) - Nova intervalo:
.
-
-
Sétima iteração:
-
, - Tamanho do intervalo:
< 0,005 - Paramos aqui, pois alcançamos a precisão desejada.
-
Resposta
A raiz aproximada de
com precisão de 0,005 é
.
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possui uma única raiz real.
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