Seja . Provar que a equação possui uma única raiz real.

Passo 1

Aqui a gente tem uma função e precisamos provar que a equação tem apenas uma raiz real. Vamos usar conhecimentos de cálculo, como continuidade e derivadas, para entender como essa função se comporta e mostrar que ela cruza o eixo exatamente uma vez.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua. Sabemos que e são funções contínuas em todo o domínio real, e a soma de funções contínuas também é contínua. Portanto, é contínua para todo .

Passo 3

Agora, para garantir que exista pelo menos uma raiz real, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário. Vamos calcular e :
Como e , e a função é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um no intervalo tal que .

Passo 4

Para mostrar que essa raiz é única, vamos analisar a derivada da função para entender seu comportamento.
Calculando a derivada:

Passo 5

Vamos verificar o sinal de :
Sabemos que varia entre e , então:
Portanto, para todo .

Passo 6

Como , a função é monotonicamente crescente em todo o seu domínio. Isso significa que ela nunca diminui à medida que aumenta.

Passo 7

Uma função contínua e monotonicamente crescente que muda de negativo para positivo em algum intervalo possui exatamente uma raiz nesse intervalo. Como já vimos que existe pelo menos uma raiz no intervalo e que a função não pode ter outras raízes devido à sua monotonicidade, concluímos que a equação tem apenas uma raiz real.

Resposta

A equação possui uma única raiz real.

Exercícios relacionados

Seja . Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.
Seja . Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
Seja . Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
Seja . Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.