Seja
. Provar que a equação
possui uma única raiz real.
Passo 1
Aqui a gente tem uma função
e precisamos provar que a equação
tem apenas uma raiz real. Vamos usar conhecimentos de cálculo, como continuidade e derivadas, para entender como essa função se comporta e mostrar que ela cruza o eixo
exatamente uma vez.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é contínua. Sabemos que
e
são funções contínuas em todo o domínio real, e a soma de funções contínuas também é contínua. Portanto,
é contínua para todo
.
Passo 3
Agora, para garantir que exista pelo menos uma raiz real, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário. Vamos calcular
e
:
Como
e
, e a função é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um
no intervalo
tal que
.
Passo 4
Para mostrar que essa raiz é única, vamos analisar a derivada da função
para entender seu comportamento.
Calculando a derivada:
Passo 5
Vamos verificar o sinal de
:
Sabemos que
varia entre
e
, então:
Portanto,
para todo
.
Passo 6
Como
, a função
é monotonicamente crescente em todo o seu domínio. Isso significa que ela nunca diminui à medida que
aumenta.
Passo 7
Uma função contínua e monotonicamente crescente que muda de negativo para positivo em algum intervalo possui exatamente uma raiz nesse intervalo. Como já vimos que existe pelo menos uma raiz no intervalo
e que a função não pode ter outras raízes devido à sua monotonicidade, concluímos que a equação
tem apenas uma raiz real.
Resposta
A equação
possui uma única raiz real.
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