Seja . Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma raiz da função com uma precisão de 0,005. Isso está relacionado ao conteúdo de Métodos Numéricos para Encontrar Raízes de Equações. Para resolver, vamos usar o Método da Bissecção, que é uma técnica simples e eficaz para encontrar aproximações de raízes de funções contínuas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma raiz de uma função. É o valor de que faz . Ou seja, queremos encontrar tal que .

Passo 3

Vamos escolher o Método da Bissecção porque ele é fácil de aplicar e garante encontrar uma raiz se a função for contínua no intervalo escolhido e tiver sinais opostos nas extremidades. A ideia é dividir o intervalo em duas partes e selecionar a subparte que contém a raiz, repetindo o processo até alcançar a precisão desejada.

Passo 4

Primeiro, precisamos encontrar um intervalo onde e têm sinais opostos. Vamos testar alguns valores:
  • Para :
  • Para :
Como e , sabemos que há uma raiz entre 1 e 2.

Passo 5

Agora, vamos aplicar o Método da Bissecção:
  1. Calcule o ponto médio do intervalo: .
  2. Avalie .
  3. Se for próximo de zero dentro da precisão desejada (0,005), paramos.
  4. Caso contrário, determine em qual subintervalo ou a função muda de sinal e repita o processo nesse subintervalo.

Passo 6

Primeira iteração:
  • ,
Como e , a raiz está entre 1 e 1,5.

Passo 7

Segunda iteração:
  • ,
Agora, e , então a raiz está entre 1,25 e 1,5.

Passo 8

Terceira iteração:
  • ,
Como e , a raiz está entre 1,25 e 1,375.

Passo 9

Quarta iteração:
  • ,
Agora, e , então a raiz está entre 1,25 e 1,3125.

Passo 10

Quinta iteração:
  • ,
Como e , a raiz está entre 1,28125 e 1,3125.

Passo 11

Sexta iteração:
  • ,
Agora, e , então a raiz está entre 1,296875 e 1,3125.

Passo 12

Sétima iteração:
  • ,
Como e , a raiz está entre 1,296875 e 1,3046875.

Passo 13

Oitava iteração:
  • ,
Agora, , com uma precisão de 0,0001, que é menor que 0,005. Podemos parar aqui.

Resposta

A raiz aproximada de com precisão de 0,005 é .

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Seja . Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.
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É possivel que a equaçâo anterior seja verdadeira, mas que ? Explique.
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