Seja
. Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma raiz da função
com uma precisão de 0,005. Isso está relacionado ao conteúdo de Métodos Numéricos para Encontrar Raízes de Equações. Para resolver, vamos usar o Método da Bissecção, que é uma técnica simples e eficaz para encontrar aproximações de raízes de funções contínuas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é uma raiz de uma função. É o valor de
que faz
. Ou seja, queremos encontrar
tal que
.
Passo 3
Vamos escolher o Método da Bissecção porque ele é fácil de aplicar e garante encontrar uma raiz se a função for contínua no intervalo escolhido e tiver sinais opostos nas extremidades. A ideia é dividir o intervalo em duas partes e selecionar a subparte que contém a raiz, repetindo o processo até alcançar a precisão desejada.
Passo 4
Primeiro, precisamos encontrar um intervalo
onde
e
têm sinais opostos. Vamos testar alguns valores:
-
Para
: -
Para
:
Como
e
, sabemos que há uma raiz entre 1 e 2.
Passo 5
Agora, vamos aplicar o Método da Bissecção:
- Calcule o ponto médio do intervalo:
. - Avalie
. - Se
for próximo de zero dentro da precisão desejada (0,005), paramos. - Caso contrário, determine em qual subintervalo
ou a função muda de sinal e repita o processo nesse subintervalo.
Passo 6
Primeira iteração:
-
, -
-
Como
e
, a raiz está entre 1 e 1,5.
Passo 7
Segunda iteração:
-
, -
-
Agora,
e
, então a raiz está entre 1,25 e 1,5.
Passo 8
Terceira iteração:
-
, -
-
Como
e
, a raiz está entre 1,25 e 1,375.
Passo 9
Quarta iteração:
-
, -
-
Agora,
e
, então a raiz está entre 1,25 e 1,3125.
Passo 10
Quinta iteração:
-
, -
-
Como
e
, a raiz está entre 1,28125 e 1,3125.
Passo 11
Sexta iteração:
-
, -
-
Agora,
e
, então a raiz está entre 1,296875 e 1,3125.
Passo 12
Sétima iteração:
-
, -
-
Como
e
, a raiz está entre 1,296875 e 1,3046875.
Passo 13
Oitava iteração:
-
, -
-
Agora,
, com uma precisão de 0,0001, que é menor que 0,005. Podemos parar aqui.
Resposta
A raiz aproximada de
com precisão de 0,005 é
.
Exercícios relacionados
Seja
. Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.
O que significa a equaçâo abaixo
É possivel que a equaçâo anterior seja verdadeira, mas que
? Explique.
Seja
. Calcular aproximadamente
com precisão 0.001 .
Esboce o gráfico de um exemplo de função
que satisfaz todas as condiçôes dadas.