Sendo
, senhy
, coshy
e
mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que temos envolve números complexos e funções trigonométricas e hiperbólicas. O que precisamos provar é que, para um número complexo
, a expressão
é igual a
. Para isso, vamos usar as definições de funções hiperbólicas e a expressão da função cosseno para números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a expressão do cosseno de um número complexo. A definição dada é:
Substituindo
nessa fórmula, temos:
Passo 3
Agora, vamos simplificar os expoentes. Lembre-se que
, então:
Portanto, a expressão fica:
Passo 4
Vamos separar em partes reais e imaginárias usando as fórmulas de Euler, onde
e
:
Distribuindo os termos, temos:
Passo 5
Agora, vamos agrupar as partes reais e imaginárias:
Observamos que:
Então, substituindo:
Passo 6
Agora, para encontrar
, que é
, vamos calcular o módulo ao quadrado. Para um número complexo
, temos
. Aplicando isso:
Passo 7
Queremos simplificar essa expressão para chegar em
. Vamos usar a identidade hiperbólica:
Rearranjando, temos:
Passo 8
Substituindo
na expressão de
:
Distribuindo
:
Passo 9
Agora, vamos fatorar
nos últimos dois termos:
Sabemos que
(identidade trigonométrica), então:
Resposta
Portanto, mostramos que
.