Sendo z = x + i y, senhy (e^y - e^-y) / 2, coshy (e^y + e^-y) / 2 e cos(z) = (e^(i*z) + e^(-i*z)) / 2 mostre que
|cos(z)|^2 = cos^2(x) + senh^2(y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que temos envolve números complexos e funções trigonométricas e hiperbólicas. O que precisamos provar é que, para um número complexo , a expressão é igual a . Para isso, vamos usar as definições de funções hiperbólicas e a expressão da função cosseno para números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a expressão do cosseno de um número complexo. A definição dada é:
Substituindo nessa fórmula, temos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar os expoentes. Lembre-se que , então:
Portanto, a expressão fica:

Passo 4

Vamos separar em partes reais e imaginárias usando as fórmulas de Euler, onde e :
Distribuindo os termos, temos:

Passo 5

Agora, vamos agrupar as partes reais e imaginárias:
Observamos que:
Então, substituindo:

Passo 6

Agora, para encontrar , que é , vamos calcular o módulo ao quadrado. Para um número complexo , temos . Aplicando isso:

Passo 7

Queremos simplificar essa expressão para chegar em . Vamos usar a identidade hiperbólica:
Rearranjando, temos:

Passo 8

Substituindo na expressão de :
Distribuindo :

Passo 9

Agora, vamos fatorar nos últimos dois termos:
Sabemos que (identidade trigonométrica), então:

Resposta

Portanto, mostramos que .

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