Use a fórmula Integral de Cauchy para derivada para calcular a integral
onde o contorno é percorrido no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, então temos uma integral complexa para resolver usando a Fórmula Integral de Cauchy para derivadas. A questão pede para calcular a integral de uma função que envolve cosseno e uma fração com ao quadrado, sobre um contorno circular de raio 3, sentido anti-horário. Vamos precisar entender onde estão os pontos singulares da função e aplicar a teoria adequada para integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função dentro da integral pode ter problemas, ou seja, onde o denominador é zero. Temos , o que nos dá . Esse ponto é chamado de singularidade da função.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se essa singularidade está dentro do contorno de integração, que é o círculo . Calculando o módulo de , temos , que é menor que 3. Portanto, a singularidade está dentro do contorno.
Passo 4
Como temos uma singularidade de segunda ordem (porque o denominador está ao quadrado), vamos usar a Fórmula de Cauchy para a derivada de ordem 1. A fórmula geral é:
ointC f(z)(z - z0)^2 dz = 2pi i f'(z0)
Aqui, e .
Passo 5
Vamos calcular a derivada de f'(z) = ddz ( cos(z^2 + 3z - 1)4 ) = -sin(z^2 + 3z - 1) cdot (2z + 3)4 em relação a f'(-32) = -sin((-32)^2 + 3(-32) - 1) cdot (2(-32) + 3)4 :