Use a fórmula Integral de Cauchy para derivada para calcular a integral
oint|z|=3 cos (z^2+3 z-1)(2 z+3)^2 d z
onde o contorno é percorrido no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, então temos uma integral complexa para resolver usando a Fórmula Integral de Cauchy para derivadas. A questão pede para calcular a integral de uma função que envolve cosseno e uma fração com ao quadrado, sobre um contorno circular de raio 3, sentido anti-horário. Vamos precisar entender onde estão os pontos singulares da função e aplicar a teoria adequada para integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função dentro da integral pode ter problemas, ou seja, onde o denominador é zero. Temos , o que nos dá . Esse ponto é chamado de singularidade da função.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se essa singularidade está dentro do contorno de integração, que é o círculo . Calculando o módulo de , temos , que é menor que 3. Portanto, a singularidade está dentro do contorno.

Passo 4

Como temos uma singularidade de segunda ordem (porque o denominador está ao quadrado), vamos usar a Fórmula de Cauchy para a derivada de ordem 1. A fórmula geral é:
ointC f(z)(z - z0)^2 dz = 2pi i f'(z0)
Aqui, e .

Passo 5

Vamos calcular a derivada de f'(z) = ddz ( cos(z^2 + 3z - 1)4 ) = -sin(z^2 + 3z - 1) cdot (2z + 3)4 em relação a f'(-32) = -sin((-32)^2 + 3(-32) - 1) cdot (2(-32) + 3)4 :
(-32)^2 + 3(-32) - 1 = 94 - 92 - 1 = 94 - 184 - 44 = -134
Agora, avaliamos essa derivada em 2(-32) + 3 = -3 + 3 = 0 :
Simplificando dentro do seno:
E para o multiplicador:

Passo 6

Percebemos que o termo que multiplica o seno é zero. Portanto:
f'(-32) = -sin(-134) cdot 04 = 0

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Sendo z = x + i y, senhy (e^y - e^-y) / 2, coshy (e^y + e^-y) / 2 e cos(z) = (e^(i*z) + e^(-i*z)) / 2 mostre que
|cos(z)|^2 = cos^2(x) + senh^2(y).
Use a fórmula Integral de Cauchy para calcular a integral oint|z-1|=2 e^zz^2-4 d z, onde o contorno é percorrido no sentido anti-horário.
Seja f(z) = cos(z) definida sobre o retângulo R = [ (3 pi) / 2 , 2 pi ] x [ 0 , 2 ]. Use o Princípio do Módulo do Máximo para determinar o ponto de máximo da função |f(z)| = |cos(z)| (Sugestão: use o exercício acima).
Nos Exercícios de 1 a 6, aplique a Definição 16.4.1 para encontrar as derivadas parciais indicadas.
  1. f(x, y) = 6 x + 3 y - 7 ; D1 f(x, y)