Seja o sólido exterior à esfera e interior à esfera . A densidade , no ponto , é diretamente proporcional ao quadrado da distância do centro das esferas ao ponto . Encontre a massa de .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sólido que está do lado de fora da esfera e do lado de dentro da esfera . A densidade em cada ponto desse sólido é diretamente proporcional ao quadrado da distância do ponto até o centro das esferas. Nosso objetivo é encontrar a massa desse sólido .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais triplas em coordenadas esféricas, já que estamos lidando com esferas. Também vamos aplicar a ideia de densidade que varia com a distância ao quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a densidade de forma matemática. Como a densidade é diretamente proporcional ao quadrado da distância do ponto ao centro, podemos escrever:
onde é a distância do ponto ao centro e é a constante de proporcionalidade.

Passo 3

Agora, precisamos configurar a integral tripla que representa a massa do sólido . A massa é dada por:
Substituindo a expressão da densidade:

Passo 4

Para simplificar a integração, vamos utilizar coordenadas esféricas, onde as coordenadas são expressas em termos de , (ângulo azimutal) e (ângulo polar). Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é dado por:

Passo 5

Agora, substituímos na expressão da massa:

Passo 6

Determinar os limites de integração:
  • varia de a (entre as duas esferas).
  • varia de a (completando a volta ao redor do eixo z).
  • varia de a (do polo norte ao polo sul).
Portanto, a integral fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :

Passo 8

Em seguida, integramos em relação a :

Passo 9

Finalmente, integramos em relação a :

Passo 10

Agora, multiplicamos os resultados das integrais:

Resposta

A massa do sólido é

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Um sólido é delimitado pelo cone e pelo plano . A densidade , no ponto , é diretamente proporcional à distância do ponto ao eixo . Encontre a massa de .
Seja a região compreendida entre os gráficos de e .
Encontre a área da região (Use a representação mais conveniente).
Sendo uma função de classe tal que em , considere o conjunto . Demonstre que se são funções de classe , então vale a identidade
em que é a fronteira de orientada no sentido anti-horário.
Sugestão: Escreva como reunião de três curvas, sendo e , coт .
Seja uma curva espacial suave fechada simples que esteja contida em um plano com vetor unitário normal e orientada positivamente em relação a . Mostre que a área do plano delimitado por é dada por
Sugestão: Use o Teorema de Stokes no espaço.