Seja
o sólido exterior à esfera
e interior à esfera
. A densidade
, no ponto
, é diretamente proporcional ao quadrado da distância do centro das esferas ao ponto
. Encontre a massa de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sólido
que está do lado de fora da esfera
e do lado de dentro da esfera
. A densidade
em cada ponto
desse sólido é diretamente proporcional ao quadrado da distância do ponto até o centro das esferas. Nosso objetivo é encontrar a massa desse sólido
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais triplas em coordenadas esféricas, já que estamos lidando com esferas. Também vamos aplicar a ideia de densidade que varia com a distância ao quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a densidade
de forma matemática. Como a densidade é diretamente proporcional ao quadrado da distância do ponto ao centro, podemos escrever:
onde
é a distância do ponto ao centro e
é a constante de proporcionalidade.
Passo 3
Agora, precisamos configurar a integral tripla que representa a massa
do sólido
. A massa é dada por:
Substituindo a expressão da densidade:
Passo 4
Para simplificar a integração, vamos utilizar coordenadas esféricas, onde as coordenadas
são expressas em termos de
,
(ângulo azimutal) e
(ângulo polar). Em coordenadas esféricas, o elemento de volume
é dado por:
Passo 5
Agora, substituímos
na expressão da massa:
Passo 6
Determinar os limites de integração:
-
varia de a (entre as duas esferas). -
varia de a (completando a volta ao redor do eixo z). -
varia de a (do polo norte ao polo sul).
Portanto, a integral fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 8
Em seguida, integramos em relação a
:
Passo 9
Finalmente, integramos em relação a
:
Passo 10
Agora, multiplicamos os resultados das integrais:
Resposta
A massa do sólido
é
Exercícios relacionados
Um sólido
é delimitado pelo cone
e pelo plano
. A densidade
, no ponto
, é diretamente proporcional à distância do ponto
ao eixo
. Encontre a massa de
.
Seja
a região compreendida entre os gráficos de
e
.
Encontre a área da região (Use a representação mais conveniente).
Encontre a área da região
Sendo
uma função de classe
tal que
em
, considere o conjunto
. Demonstre que se
são funções de classe
, então vale a identidade
em que
é a fronteira de
orientada no sentido anti-horário.
Sugestão: Escreva como reunião de três curvas, sendo
e
, coт
.
Sugestão: Escreva
Seja
uma curva espacial suave fechada simples que esteja contida em um plano com vetor unitário normal
e orientada positivamente em relação a
. Mostre que a área
do plano delimitado por
é dada por
Sugestão: Use o Teorema de Stokes no espaço.