Sejam dois vetores quaisquer u, v e seja w=v-proju v. Mostre que u e w são ortogonais.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores quaisquer, e , e definimos um terceiro vetor como . O objetivo é mostrar que e são ortogonais, ou seja, que o produto escalar entre eles é zero. Para isso, vamos precisar entender o que é a projeção de um vetor e como calcular o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a projeção de proju v = ( u cdot vu cdot u ) u sobre , denotada por . A projeção é o vetor que representa a “sombra” de na direção de . A fórmula para a projeção é:
Aqui, é o produto escalar entre e .

Passo 3

Vamos agora expressar w = v - proju v = v - ( u cdot vu cdot u ) u usando a definição da projeção:
Nosso objetivo é mostrar que e são ortogonais, ou seja, que o produto escalar é igual a zero.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar u cdot w = u cdot ( v - ( u cdot vu cdot u ) u ) :
u cdot w = u cdot v - ( u cdot vu cdot u ) (u cdot u)
Usando a propriedade distributiva do produto escalar, temos:

Passo 5

Simplificando a expressão:
u cdot w = u cdot v - ( u cdot vu cdot u ) (u cdot u) = u cdot v - u cdot v = 0

Resposta

Portanto, mostramos que , o que significa que e são vetores ortogonais.

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