Sejam dois vetores quaisquer
e seja
. Mostre que
e
são ortogonais.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores quaisquer,
e
, e definimos um terceiro vetor
como
. O objetivo é mostrar que
e
são ortogonais, ou seja, que o produto escalar entre eles é zero. Para isso, vamos precisar entender o que é a projeção de um vetor e como calcular o produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a projeção de
sobre
, denotada por
. A projeção é o vetor que representa a “sombra” de
na direção de
. A fórmula para a projeção é:
Aqui,
é o produto escalar entre
e
.
Passo 3
Vamos agora expressar
usando a definição da projeção:
Nosso objetivo é mostrar que
e
são ortogonais, ou seja, que o produto escalar
é igual a zero.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar
:
Usando a propriedade distributiva do produto escalar, temos:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Resposta
Portanto, mostramos que
, o que significa que
e
são vetores ortogonais.