Sejam dois vetores quaisquer e seja . Mostre que e são ortogonais.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores quaisquer, e , e definimos um terceiro vetor como . O objetivo é mostrar que e são ortogonais, ou seja, que o produto escalar entre eles é zero. Para isso, vamos precisar entender o que é a projeção de um vetor e como calcular o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a projeção de sobre , denotada por . A projeção é o vetor que representa a “sombra” de na direção de . A fórmula para a projeção é:
Aqui, é o produto escalar entre e .

Passo 3

Vamos agora expressar usando a definição da projeção:
Nosso objetivo é mostrar que e são ortogonais, ou seja, que o produto escalar é igual a zero.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar :
Usando a propriedade distributiva do produto escalar, temos:

Passo 5

Simplificando a expressão:

Resposta

Portanto, mostramos que , o que significa que e são vetores ortogonais.

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Seja o ângulo entre os vetores e em . Assinale a alternativa correta:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Verifique se os seguintes conjuntos comas operações indicadas são anéis. Dos anéis, decida se é anel com unidade e se tem divisores de zero. Algum deles é corpo? Algum deles é anel de integridade?
c) com as operações dadas por:
Seja um domínio euclidiano com função euclidiana . (satisfazendo para quaisquer . Seja um ideal de . Prove que se existir tal que , então .
Seja um domínio euclidiano com função euclidiana .
a) Prove que é uma unidade se for um mínimo do conjunto . Mostre que se para quaisquer , então a implicação recíproca também é verdadeira.