Seja D um domínio euclidiano com função euclidiana varphi. (satisfazendo varphi(a) <= varphi(a b) para quaisquer a, b in D-0). Seja I neq0 um ideal de D. Prove que se existir a in I tal que varphi(a)=varphi(1), então I=D.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um domínio euclidiano com uma função euclidiana . Queremos provar que se existe um elemento no ideal (que não é apenas o conjunto {0}) tal que , então o ideal é igual a todo o domínio . Para isso, vamos usar conceitos de teoria de ideais e propriedades dos domínios euclidianos.

Passo 2

Em um domínio euclidiano, todo ideal não nulo é principal, ou seja, pode ser gerado por um único elemento. Isso significa que existe um elemento I = (g) em tal que:
Aqui, representa o conjunto de todos os múltiplos de em .

Passo 3

Sabemos que existe um elemento em com a propriedade . Queremos mostrar que é um elemento especial que pode gerar todo o domínio .

Passo 4

Como a cdot b = 1 , pela definição da função euclidiana, isso implica que divide o elemento 1 no domínio . Ou seja, existe um elemento em tal que:

Passo 5

A equação mostra que tem um inverso multiplicativo em . Isso significa que é uma unidade em .

Passo 6

Se d = d cdot 1 = d cdot (a cdot b) = (d cdot b) cdot a é uma unidade, então o ideal gerado por , que é , é igual a todo o domínio . Isso ocorre porque todo elemento em pode ser escrito como:
Portanto, pertence a , o que implica que .

Resposta

Portanto, se existe em com , então .

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