Seja um domínio euclidiano com função euclidiana . (satisfazendo para quaisquer . Seja um ideal de . Prove que se existir tal que , então .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um domínio euclidiano com uma função euclidiana . Queremos provar que se existe um elemento no ideal (que não é apenas o conjunto {0}) tal que , então o ideal é igual a todo o domínio . Para isso, vamos usar conceitos de teoria de ideais e propriedades dos domínios euclidianos.

Passo 2

Em um domínio euclidiano, todo ideal não nulo é principal, ou seja, pode ser gerado por um único elemento. Isso significa que existe um elemento em tal que:
Aqui, representa o conjunto de todos os múltiplos de em .

Passo 3

Sabemos que existe um elemento em com a propriedade . Queremos mostrar que é um elemento especial que pode gerar todo o domínio .

Passo 4

Como , pela definição da função euclidiana, isso implica que divide o elemento 1 no domínio . Ou seja, existe um elemento em tal que:

Passo 5

A equação mostra que tem um inverso multiplicativo em . Isso significa que é uma unidade em .

Passo 6

Se é uma unidade, então o ideal gerado por , que é , é igual a todo o domínio . Isso ocorre porque todo elemento em pode ser escrito como:
Portanto, pertence a , o que implica que .

Resposta

Portanto, se existe em com , então .

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Sejam dois vetores quaisquer e seja . Mostre que e são ortogonais.
Seja o ângulo entre os vetores e em . Assinale a alternativa correta:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Seja um domínio euclidiano com função euclidiana .
a) Prove que é uma unidade se for um mínimo do conjunto . Mostre que se para quaisquer , então a implicação recíproca também é verdadeira.
Verifique se os seguintes conjuntos comas operações indicadas são anéis. Dos anéis, decida se é anel com unidade e se tem divisores de zero. Algum deles é corpo? Algum deles é anel de integridade?
d) , onde as operações de adição e multiplicação usuais em .