Seja
um domínio euclidiano com função euclidiana
. (satisfazendo
para quaisquer
. Seja
um ideal de
. Prove que se existir
tal que
, então
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um domínio euclidiano
com uma função euclidiana
. Queremos provar que se existe um elemento
no ideal
(que não é apenas o conjunto {0}) tal que
, então o ideal
é igual a todo o domínio
. Para isso, vamos usar conceitos de teoria de ideais e propriedades dos domínios euclidianos.
Passo 2
Em um domínio euclidiano, todo ideal não nulo é principal, ou seja, pode ser gerado por um único elemento. Isso significa que existe um elemento
em
tal que:
Aqui,
representa o conjunto de todos os múltiplos de
em
.
Passo 3
Sabemos que existe um elemento
em
com a propriedade
. Queremos mostrar que
é um elemento especial que pode gerar todo o domínio
.
Passo 4
Como
, pela definição da função euclidiana, isso implica que
divide o elemento 1 no domínio
. Ou seja, existe um elemento
em
tal que:
Passo 5
A equação
mostra que
tem um inverso multiplicativo
em
. Isso significa que
é uma unidade em
.
Passo 6
Se
é uma unidade, então o ideal gerado por
, que é
, é igual a todo o domínio
. Isso ocorre porque todo elemento
em
pode ser escrito como:
Portanto,
pertence a
, o que implica que
.
Resposta
Portanto, se existe
em
com
, então
.