Seja theta o ângulo entre os vetores (3,-1,1,4) e (-4,-3,-2,2) em R^4. Assinale a alternativa correta:
(A) 0 <= theta <= pi / 6
(B) pi / 6
© pi / 4
(D) pi / 3
(E) pi / 2
(F) 2 pi / 3
(G) 3 pi / 4
(H) 5 pi / 6
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer descobrir o ângulo theta entre dois vetores no espaço de 4 dimensões, R^4. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do produto escalar para encontrar o cosseno do ângulo entre eles. Assim, a gente consegue calcular theta e ver em qual intervalo das opções ele cai.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores:
u = (3, -1, 1, 4) v = (-4, -3, -2, 2)

Passo 3

A fórmula do produto escalar é:
u cdot v = | u | | v | cos(theta)
Aqui, u cdot v é o produto escalar dos vetores, | u | e | v | são os comprimentos (ou normas) dos vetores, e theta é o ângulo entre eles.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar u cdot v:
u cdot v = (3)(-4) + (-1)(-3) + (1)(-2) + (4)(2) = -12 + 3 - 2 + 8 = -3

Passo 5

Agora, vamos calcular as normas dos vetores. A norma de um vetor w = (w1, w2, w3, w4) é:
| w | = raizw1^2 + w2^2 + w3^2 + w4^2
Para u:
| u | = raiz3^2 + (-1)^2 + 1^2 + 4^2 = raiz9 + 1 + 1 + 16 = raiz27 = 3raiz3
Para v:
| v | = raiz(-4)^2 + (-3)^2 + (-2)^2 + 2^2 = raiz16 + 9 + 4 + 4 = raiz33

Passo 6

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula do produto escalar para encontrar cos(theta):
-3 = (3raiz3)(raiz33) cos(theta) cos(theta) = -33raiz3 cdot raiz33 cos(theta) = -33 raiz99 cos(theta) = -1raiz99 cos(theta) = -13raiz11 cos(theta) approx -0,095

Passo 7

Agora, precisamos encontrar o ângulo theta cujo cosseno é aproximadamente -0,095. Vamos usar uma calculadora para encontrar:
theta approx cos^-1(-0,095) approx 95^circ
Convertendo para radianos:
theta approx 95 pi180 approx 1,658 radianos

Passo 8

Agora, vamos ver em qual intervalo 1,658 radianos está. Sabemos que:
pi/2 approx 1,571 2pi/3 approx 2,094
Então, 1,658 está entre pi/2 e 2pi/3.

Resposta

(D) pi / 3

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