Sejam
e o conjunto de vetores
em V , onde
e
. Determine o valor de
para que
seja uma base de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o espaço vetorial
e um conjunto de vetores
, onde
e
. Precisamos encontrar o valor de
para que
seja uma base de
.
Aqui, estamos trabalhando com o conceito de base de um espaço vetorial. Uma base é um conjunto de vetores que é linearmente independente e gera todo o espaço. No caso de
, precisamos que os vetores
e
não sejam múltiplos um do outro.
Passo 2
Para que
seja uma base de
, os vetores
e
devem ser linearmente independentes. Isso significa que não existe um escalar
tal que
.
Vamos verificar a condição de independência linear usando o determinante da matriz formada por
e
. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Passo 3
Vamos formar a matriz com
e
:
O determinante dessa matriz é calculado por:
Passo 4
Vamos simplificar o determinante:
Desenvolvendo os quadrados:
Passo 5
Para que os vetores sejam linearmente independentes, o determinante deve ser diferente de zero:
Resposta
O valor de
deve ser diferente de zero, ou seja,
, para que
seja uma base de
.
Exercícios relacionados
Sejam
transformações lineares. Suponha que
e
. Mostre que
, para todo
.
Seja
um funcional linear. Sabendo que
e
, calcule
e
.
Seja
um operador linear definido por
. Mostre que
e conclua que,
, existe
tal que
.
Verifique quais transformações abaixo são lineares.