Sejam V=R^2 e o conjunto de vetores beta=u, v em V , onde u=(1-a, 1+a) e v=(1+a, 1-a). Determine o valor de a in R para que beta seja uma base de V.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o espaço vetorial e um conjunto de vetores , onde e . Precisamos encontrar o valor de para que seja uma base de .
Aqui, estamos trabalhando com o conceito de base de um espaço vetorial. Uma base é um conjunto de vetores que é linearmente independente e gera todo o espaço. No caso de , precisamos que os vetores e não sejam múltiplos um do outro.

Passo 2

Para que seja uma base de , os vetores e devem ser linearmente independentes. Isso significa que não existe um escalar tal que .
Vamos verificar a condição de independência linear usando o determinante da matriz formada por e . Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos formar a matriz com A = 1 - a & 1 + a 1 + a & 1 - a e det(A) = (1 - a)(1 - a) - (1 + a)(1 + a) :
O determinante dessa matriz é calculado por:

Passo 4

Vamos simplificar o determinante:
det(A) = (1 - a)^2 - (1 + a)^2
Desenvolvendo os quadrados:
det(A) = (1 - 2a + a^2) - (1 + 2a + a^2) = 1 - 2a + a^2 - 1 - 2a - a^2 = -4a

Passo 5

Para que os vetores sejam linearmente independentes, o determinante deve ser diferente de zero:
-4a neq 0 implies a neq 0

Resposta

O valor de deve ser diferente de zero, ou seja, , para que seja uma base de .

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