Sejam transformações lineares. Suponha que e . Mostre que , para todo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas transformações lineares, e , que vão de para (que são os polinômios de grau até 3). A gente tem que mostrar que, pra qualquer vetor em , as transformações e são iguais. Para isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e bases de espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se ela satisfaz duas propriedades:
Adição:
Homogeneidade:
Isso significa que a transformação preserva a estrutura linear do espaço.
Passo 3
Agora, para saber se duas transformações lineares e são iguais, basta verificar se elas agem da mesma forma em uma base de . Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No caso de , uma base tem três vetores.
Passo 4
Vamos verificar se os vetores dados no problema formam uma base de . Os vetores são:
Para ver se são uma base, precisamos checar se eles são linearmente independentes. Ou seja, se a única combinação linear que dá o vetor zero é quando todos os coeficientes são zero.
Vamos montar a matriz com esses vetores como colunas:
Calculando o determinante dessa matriz:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de .
Passo 5
Sabendo que é uma base, e que e são transformações lineares que concordam nesses vetores, podemos concluir que elas concordam em todos os vetores do espaço. Isso porque qualquer vetor pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base, e como e preservam essa estrutura linear, elas vão dar o mesmo resultado para qualquer vetor.