Seja
. Prove que
é uma reta em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar que o conjunto
é uma reta no espaço
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre conjuntos que representam linhas no espaço. Vamos precisar entender como equações lineares definem subconjuntos no espaço
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que significa a equação
. Essa é uma equação linear que relaciona as coordenadas
e
de qualquer ponto no conjunto
. No contexto de
, isso significa que estamos lidando com um espaço multidimensional, mas nossa equação envolve apenas duas variáveis.
Passo 3
Em
, uma equação linear de duas variáveis como
representa uma reta. Mas como isso se aplica em
? Bem, quando temos
, a equação
ainda define uma relação entre
e
, mas as outras
coordenadas podem assumir qualquer valor. Isso significa que, para cada combinação de valores nas outras coordenadas, temos uma reta no plano
-
.
Passo 4
No entanto, o enunciado afirma que
é uma reta em
. Para isso ser verdade, devemos considerar que estamos falando de uma reta paramétrica onde todas as coordenadas além de
e
são constantes ou seguem uma relação linear. Vamos parametrizar a reta para demonstrar isso.
Passo 5
Vamos parametrizar
em termos de uma variável
. Podemos expressar
e, como
, então
. As demais coordenadas
podem ser constantes, digamos
para
.
Passo 6
Assim, a parametrização de
fica:
Isso mostra que
é uma linha que varia com
nas coordenadas
e
, enquanto as outras coordenadas permanecem fixas.
Resposta
Portanto,
é uma reta em
, conforme demonstrado pela parametrização.