Seja D=(x,y)in R^n, x+y=4. Prove que D é uma reta em R^n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar que o conjunto é uma reta no espaço . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre conjuntos que representam linhas no espaço. Vamos precisar entender como equações lineares definem subconjuntos no espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que significa a equação . Essa é uma equação linear que relaciona as coordenadas e de qualquer ponto no conjunto . No contexto de , isso significa que estamos lidando com um espaço multidimensional, mas nossa equação envolve apenas duas variáveis.

Passo 3

Em , uma equação linear de duas variáveis como representa uma reta. Mas como isso se aplica em ? Bem, quando temos , a equação ainda define uma relação entre e , mas as outras coordenadas podem assumir qualquer valor. Isso significa que, para cada combinação de valores nas outras coordenadas, temos uma reta no plano - .

Passo 4

No entanto, o enunciado afirma que é uma reta em . Para isso ser verdade, devemos considerar que estamos falando de uma reta paramétrica onde todas as coordenadas além de e são constantes ou seguem uma relação linear. Vamos parametrizar a reta para demonstrar isso.

Passo 5

Vamos parametrizar em termos de uma variável . Podemos expressar e, como , então . As demais coordenadas podem ser constantes, digamos para .

Passo 6

Assim, a parametrização de D = (t, 4 - t, c1, c2, ldots, cn-2) | t in R fica:
Isso mostra que é uma linha que varia com nas coordenadas e , enquanto as outras coordenadas permanecem fixas.

Resposta

Portanto, é uma reta em , conforme demonstrado pela parametrização.

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