Seja D36 o conjunto dos divisores de 36 ( 1 e 36 inclusive) com a relação de ordem a preccurlyeq b long<=ftrightarrow a mid b. D36 é totalmente ordenado? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se o conjunto dos divisores de 36, chamado , com a relação de ordem sendo “a divide b”, é totalmente ordenado. Estamos lidando com teoria das ordens aqui, especificamente com o conceito de ordem total. Para resolver isso, vamos precisar listar todos os divisores de 36 e verificar se, para qualquer par de divisores, um divide o outro.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todos os divisores de 36. Os divisores são os números que dividem 36 sem deixar resto. Então, temos:
D36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa um conjunto ser totalmente ordenado. Um conjunto com uma relação de ordem é totalmente ordenado se, para quaisquer dois elementos quaisquer e de , ou ou . No nosso caso, a relação significa que divide .

Passo 4

Vamos verificar se todos os pares de elementos em satisfazem essa condição. Por exemplo:
  • Olha os números 2 e 3:
    • 2 não divide 3 ( , que não é inteiro).
    • 3 também não divide 2 ( , que não é inteiro).
Como 2 e 3 não se dividem mutuamente, eles são incomparáveis na relação dada.

Resposta

Não, não é totalmente ordenado porque existem divisores que não se comparam pela relação de divisão.

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