Seja g: R R dada por
g(x)= x^3-2, & se x <= 0 raizx+1, & se 02
Encontre:
g^-1([1,25])

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função g(x)= x^3-2, & se x <= 0 raizx+1, & se 0 < x <= 2 1x-2, & se x > 2 definida de forma diferente em três intervalos diferentes:
O que queremos encontrar é , ou seja, todos os valores de que, ao serem inseridos na função , resultam em um valor entre 1 e 25. Para resolver isso, vamos analisar cada parte da função separadamente e encontrar os valores de que satisfazem .

Passo 2

Vamos começar com a primeira parte da função, onde 1 <= x^3 - 2 <= 25 e . Queremos encontrar os valores de tal que:
Primeiro, resolvemos as duas desigualdades separadamente.

Passo 3

Primeiro, resolvemos x^3 - 2 >= 1 x^3 >= 3 x >= raiz[3]3 :
Mas lembrando que , não há valores de que satisfaçam ambas as condições ( e ) simultaneamente. Portanto, não há soluções nessa parte da função.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte da função, onde 1 <= raizx+1 <= 25 e . Queremos encontrar tal que:
Vamos resolver cada desigualdade separadamente.

Passo 5

Primeiro, resolvemos raizx+1 >= 1 x + 1 >= 1 x >= 0 :
Como já sabemos que , essa condição é sempre verdadeira nesse intervalo.

Passo 6

Agora, resolvemos raizx+1 <= 25 x + 1 <= 625 x <= 624 :
Novamente, como nesse intervalo, essa condição também é sempre verdadeira.

Passo 7

Portanto, para a segunda parte da função, todos os valores de 0 < x <= 2 no intervalo satisfazem . Ou seja:

Passo 8

Vamos agora para a terceira parte da função, onde 1 <= 1x-2 <= 25 e . Queremos encontrar tal que:
Vamos resolver as duas desigualdades separadamente.

Passo 9

Primeiro, resolvemos 1x-2 >= 1 1 >= x - 2 (mu 2) x <= 3 :
éá
Mas lembrando que , então os valores de que satisfazem essa desigualdade estão entre .

Passo 10

Agora, resolvemos 1x-2 <= 25 1 <= 25(x - 2) (mu 0) 1 <= 25x - 50 51 <= 25x x >= 5125 x >= 2.04 :
Como , os valores que satisfazem ambas as condições estão entre .

Passo 11

Portanto, para a terceira parte da função, os valores de 2.04 <= x <= 3 que satisfazem estão no intervalo:

Resposta

Unindo todas as partes que satisfazem g^-1([1,25]) = (0, 2] cup [2.04, 3] , temos:

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