Seja T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(2 x+3 y-5 z, x-y-z, 2 x+y+z). Sejam beta1 a base canônica de R^3 e beta2=(1,2,3),(3,2,1),(1,1,0) outra base de R^3.
A transformação T é inversível? Caso seja, determine [T^-1]beta1^beta1 e[T^-1]beta2^beta2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear definida por . Queremos saber se essa transformação é inversível. Se for, vamos encontrar as matrizes da inversa de nas bases canônica e outra base . Para isso, vamos precisar entender sobre matrizes de transformações lineares, determinante e mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação T(1,0,0) = (2*1 + 3*0 - 5*0, 1 - 0 - 0, 2*1 + 0 + 0) = (2, 1, 2) como uma matriz na base canônica T(0,1,0) = (2*0 + 3*1 - 5*0, 0 - 1 - 0, 2*0 + 1 + 0) = (3, -1, 1) . Cada coluna dessa matriz será a imagem dos vetores da base canônica sob T(0,0,1) = (2*0 + 3*0 - 5*1, 0 - 0 - 1, 2*0 + 0 + 1) = (-5, -1, 1) .
As base canônicas de [T]beta1^beta1 = 2 & 3 & -5 1 & -1 & -1 2 & 1 & 1 são , e .
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Então, a matriz de na base canônica é:

Passo 3

Agora, vamos verificar se det 2 & 3 & -5 1 & -1 & -1 2 & 1 & 1 = 2 cdot -1 & -1 1 & 1 - 3 cdot 1 & -1 2 & 1 + (-5) cdot 1 & -1 2 & 1 é inversível. Uma transformação linear é inversível se e somente se a sua matriz associada for não singular, ou seja, se o determinante dessa matriz for diferente de zero.
Calculando o determinante de -1 & -1 1 & 1 = (-1)(1) - (-1)(1) = -1 + 1 = 0 :
1 & -1 2 & 1 = (1)(1) - (-1)(2) = 1 + 2 = 3
Calculando os menores:
det = 2(0) - 3(3) + (-5)(3) = 0 - 9 - 15 = -24 neq 0
Substituindo:
Como o determinante é diferente de zero, é inversível.

Passo 4

Agora que sabemos que [T^-1] = 1det[T]cdot adj([T]) é inversível, vamos encontrar a matriz inversa adj([T]) = -1 & -1 1 & 1 & - 1 & -1 2 & 1 & 1 & -1 2 & 1 - 3 & -5 1 & 1 & 2 & -5 2 & 1 & - 2 & 3 2 & 1 3 & -5 -1 & -1 & - 2 & -5 1 & -1 & 2 & 3 1 & -1 . Para isso, usamos a fórmula da matriz inversa:
Adj11 = 0, Adj12 = -3, Adj13 = 3
Onde Adj21 = - (3*1 - (-5)*1) = - (3 +5) = -8 é a adjunta de Adj22 = (2*1 - (-5)*2) = 2 +10 = 12 .
Calculando a adjunta de Adj23 = - (2*1 -3*2) = - (2 -6) = 4 :
Adj31 = (3*(-1) - (-5)*(-1)) = -3 -5 = -8
Calculando cada menor:
Adj32 = - (2*(-1) - (-5)*1) = - (-2 +5) = -3
Adj33 = (2*(-1) -3*1) = -2 -3 = -5
adj([T]) = 0 & -3 & 3 -8 & 12 & 4 -8 & -3 & -5
[T^-1]beta1^beta1 = 1-24 cdot 0 & -3 & 3 -8 & 12 & 4 -8 & -3 & -5 = 0 & 18 & -18 13 & -12 & -16 13 & 18 & 524
Então, a adjunta é:
Agora, calculamos a inversa:

Passo 5

Agora, vamos determinar P = 1 & 3 & 1 2 & 2 & 1 3 & 1 & 0 . Para isso, precisamos usar a relação de mudança de base. Primeiramente, vamos encontrar a matriz de mudança de base de [T^-1]beta2^beta2 = P^-1 cdot [T^-1]beta1^beta1 cdot P para , que chamaremos de .
A matriz é formada pelas colunas dos vetores da base :
A inversa de , , será usada para mudar a representação da matriz inversa de para a base :
Calculando (supondo que seja inversível, o que é verdade se os vetores de forem linearmente independentes):
Após calcular , fazemos a multiplicação das matrizes para encontrar .
Esse cálculo envolve várias operações de multiplicação de matrizes, que podem ser feitas passo a passo ou usando uma calculadora para facilitar.

Resposta

Sim, a transformação [T^-1]beta1^beta1 = 0 & 18 & -18 13 & -12 & -16 13 & 18 & 524 é inversível. As matrizes da sua inversa são:
[T^-1]beta2^beta2 = P^-1 cdot [T^-1]beta1^beta1 cdot P
e
1 & 3 & 1 2 & 2 & 1 3 & 1 & 0
onde é a matriz de mudança de base de para .

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