Seja dada por . Sejam a base canônica de e outra base de .
A transformação é inversível? Caso seja, determine
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear definida por . Queremos saber se essa transformação é inversível. Se for, vamos encontrar as matrizes da inversa de nas bases canônica e outra base . Para isso, vamos precisar entender sobre matrizes de transformações lineares, determinante e mudança de base.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação como uma matriz na base canônica . Cada coluna dessa matriz será a imagem dos vetores da base canônica sob .
As base canônicas de são , e .
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Então, a matriz de na base canônica é:
Passo 3
Agora, vamos verificar se det 2 & 3 & -5 1 & -1 & -1 2 & 1 & 1 = 2 cdot -1 & -1 1 & 1 - 3 cdot 1 & -1 2 & 1 + (-5) cdot 1 & -1 2 & 1 é inversível. Uma transformação linear é inversível se e somente se a sua matriz associada for não singular, ou seja, se o determinante dessa matriz for diferente de zero.
Agora, vamos determinar P = 1 & 3 & 1 2 & 2 & 1 3 & 1 & 0 . Para isso, precisamos usar a relação de mudança de base. Primeiramente, vamos encontrar a matriz de mudança de base de [T^-1]beta2^beta2 = P^-1 cdot [T^-1]beta1^beta1 cdot P para , que chamaremos de .
A matriz é formada pelas colunas dos vetores da base :
A inversa de , , será usada para mudar a representação da matriz inversa de para a base :
Calculando (supondo que seja inversível, o que é verdade se os vetores de forem linearmente independentes):
Após calcular , fazemos a multiplicação das matrizes para encontrar .
Esse cálculo envolve várias operações de multiplicação de matrizes, que podem ser feitas passo a passo ou usando uma calculadora para facilitar.
Resposta
Sim, a transformação [T^-1]beta1^beta1 = 0 & 18 & -18 13 & -12 & -16 13 & 18 & 524 é inversível. As matrizes da sua inversa são:
[T^-1]beta2^beta2 = P^-1 cdot [T^-1]beta1^beta1 cdot P