Seja dada por . Sejam a base canônica de e outra base de .
A transformação é inversível? Caso seja, determine
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear definida por . Queremos saber se essa transformação é inversível. Se for, vamos encontrar as matrizes da inversa de nas bases canônica e outra base . Para isso, vamos precisar entender sobre matrizes de transformações lineares, determinante e mudança de base.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação como uma matriz na base canônica . Cada coluna dessa matriz será a imagem dos vetores da base canônica sob .
As base canônicas de são , e .
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Então, a matriz de na base canônica é:
Passo 3
Agora, vamos verificar se é inversível. Uma transformação linear é inversível se e somente se a sua matriz associada for não singular, ou seja, se o determinante dessa matriz for diferente de zero.
Calculando o determinante de :
Calculando os menores:
Substituindo:
Como o determinante é diferente de zero, é inversível.
Passo 4
Agora que sabemos que é inversível, vamos encontrar a matriz inversa . Para isso, usamos a fórmula da matriz inversa:
Onde é a adjunta de .
Calculando a adjunta de :
Calculando cada menor:
Então, a adjunta é:
Agora, calculamos a inversa:
Passo 5
Agora, vamos determinar . Para isso, precisamos usar a relação de mudança de base. Primeiramente, vamos encontrar a matriz de mudança de base de para , que chamaremos de .
A matriz é formada pelas colunas dos vetores da base :
A inversa de , , será usada para mudar a representação da matriz inversa de para a base :
Calculando (supondo que seja inversível, o que é verdade se os vetores de forem linearmente independentes):
Após calcular , fazemos a multiplicação das matrizes para encontrar .
Esse cálculo envolve várias operações de multiplicação de matrizes, que podem ser feitas passo a passo ou usando uma calculadora para facilitar.
Resposta
Sim, a transformação é inversível. As matrizes da sua inversa são: