Seja f: R R definida por:
f(x)=x^2-3 x+2
Calcule:
f^-1(0), f^-1([0, infty)), f^-1((-infty, 0]) e f^-1([1,2])

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa encontrar os inversos de alguns conjuntos: , , e . Isso envolve entender como a função se comporta e resolver algumas equações quadráticas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar x^2 - 3x + 2 = 0 . Isso significa encontrar todos os valores de que fazem . Então, resolvemos a equação:

Passo 3

Para resolver essa equação quadrática, podemos fatorar:
x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0
Isso nos dá duas soluções:
x - 1 = 0 Rightarrow x = 1
x - 2 = 0 Rightarrow x = 2

Passo 4

Agora, vamos achar . Isso significa encontrar todos os onde . Sabemos que é uma parábola que abre para cima (porque o coeficiente de é positivo). Os pontos onde a parábola toca o eixo são e , que já encontramos.

Passo 5

Como a parábola abre para cima, ela é positiva fora das raízes. Então, x <= 1 ou x >= 2 quando:

Passo 6

Em seguida, vamos determinar . Isso quer dizer encontrar todos os onde . Pela forma da parábola, isso acontece entre as raízes.

Passo 7

Portanto, 1 <= x <= 2 quando:

Passo 8

Por último, vamos calcular f(x) >= 1 e f(x) <= 2 . Precisamos achar todos os que fazem . Isso envolve resolver duas inequações:

Passo 9

Primeiro, resolvemos x^2 - 3x + 2 >= 1 Rightarrow x^2 - 3x + 1 >= 0 :
x = 3 pm raiz9 - 42 = 3 pm raiz52
Resolvendo a equação quadrática x <= 3 - raiz52 ou x >= 3 + raiz52 usando a fórmula de Bhaskara:
Então, quando:

Passo 10

Agora, resolvemos x^2 - 3x + 2 <= 2 Rightarrow x^2 - 3x <= 0 Rightarrow x(x - 3) <= 0 :
Isso acontece quando .

Passo 11

Para encontrar os ( x <= 3 - raiz52 ou x >= 3 + raiz52 ) e 0 <= x <= 3 que satisfazem ambas as condições 0 <= x <= 3 - raiz52 e 3 + raiz52 <= x <= 3 e , vamos ver onde os intervalos se sobrepõem:
Isso resulta em:

Resposta

f^-1(0) &= 1, 2 f^-1([0, infty)) &= (-infty, 1] cup [2, infty) f^-1((-infty, 0]) &= [1, 2] f^-1([1, 2]) &= [0, 3 - raiz52] cup [3 + raiz52, 3]

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