Seja
definida por:
Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa encontrar os inversos de alguns conjuntos:
,
,
e
. Isso envolve entender como a função se comporta e resolver algumas equações quadráticas. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
. Isso significa encontrar todos os valores de
que fazem
. Então, resolvemos a equação:
Passo 3
Para resolver essa equação quadrática, podemos fatorar:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 4
Agora, vamos achar
. Isso significa encontrar todos os
onde
. Sabemos que
é uma parábola que abre para cima (porque o coeficiente de
é positivo). Os pontos onde a parábola toca o eixo
são
e
, que já encontramos.
Passo 5
Como a parábola abre para cima, ela é positiva fora das raízes. Então,
quando:
Passo 6
Em seguida, vamos determinar
. Isso quer dizer encontrar todos os
onde
. Pela forma da parábola, isso acontece entre as raízes.
Passo 7
Portanto,
quando:
Passo 8
Por último, vamos calcular
. Precisamos achar todos os
que fazem
. Isso envolve resolver duas inequações:
Passo 9
Primeiro, resolvemos
:
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Então,
quando:
Passo 10
Agora, resolvemos
:
Isso acontece quando
.
Passo 11
Para encontrar os
que satisfazem ambas as condições
e
, vamos ver onde os intervalos se sobrepõem:
Isso resulta em: