Verifique se os conjuntos abaixo são subanéis de (Q,+,.$) com as operações usuais. ) com as operações usuais .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão! A gente precisa verificar se o conjunto -1, 0, 1 é um subanel de (Q, +, cdot), que são os números racionais com as operações normais de adição e multiplicação. Para isso, vamos precisar entender o que é um subanel e checar algumas propriedades básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um anel. Um anel é um conjunto que tem duas operações: adição e multiplicação, e precisa satisfazer algumas regras, como ter um elemento neutro para a adição (que é o 0), ser fechado na adição e multiplicação, e ter inversos aditivos.
Um subanel é, basicamente, um conjunto que é um anel por si só dentro de outro anel maior. Então, para o conjunto -1, 0, 1 ser um subanel de (Q, +, cdot), ele precisa satisfazer todas as propriedades de um anel dentro de Q.

Passo 3

Vamos verificar as propriedades necessárias uma a uma:
  1. Elemento Neutro para a Adição: O conjunto precisa conter o 0. No nosso caso, 0 in -1, 0, 1, então está ok.
  2. Fechamento pela Adição: Se somarmos quaisquer dois elementos do conjunto, o resultado também deve estar no conjunto.
    • -1 + (-1) = -2 (não está no conjunto)
    • -1 + 0 = -1 (está no conjunto)
    • -1 + 1 = 0 (está no conjunto)
    • 0 + 0 = 0 (está no conjunto)
    • 0 + 1 = 1 (está no conjunto)
    • 1 + 1 = 2 (não está no conjunto)
    Já vimos que algumas somas saem do conjunto, então não é fechado pela adição.
  3. Fechamento pela Multiplicação: Se multiplicarmos quaisquer dois elementos do conjunto, o resultado também deve estar no conjunto.
    • -1 cdot -1 = 1 (está no conjunto)
    • -1 cdot 0 = 0 (está no conjunto)
    • -1 cdot 1 = -1 (está no conjunto)
    • 0 cdot 0 = 0 (está no conjunto)
    • 0 cdot 1 = 0 (está no conjunto)
    • 1 cdot 1 = 1 (está no conjunto)
    Aqui, todas as multiplicações ficam dentro do conjunto.
  4. Existência de Inversos Aditivos: Para cada elemento a no conjunto, deve existir um -a também no conjunto.
    • -1 tem inverso 1
    • 0 tem inverso 0
    • 1 tem inverso -1
    Isso está ok.

Passo 4

Apesar de o conjunto -1, 0, 1 ter o elemento neutro para a adição, estar fechado pela multiplicação e ter inversos aditivos, ele não está fechado pela adição, já que, por exemplo, 1 + 1 = 2 e -1 + (-1) = -2 não estão no conjunto. Essa falta de fechamento pela adição significa que o conjunto não satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um subanel.

Resposta

O conjunto -1, 0, 1 não é um subanel de (Q, +, cdot) porque não é fechado pela adição.

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