Verifique se os conjuntos abaixo são subanéis de
.$) com as operações usuais.
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão! A gente precisa verificar se o conjunto
é um subanel de
, que são os números racionais com as operações normais de adição e multiplicação. Para isso, vamos precisar entender o que é um subanel e checar algumas propriedades básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um anel. Um anel é um conjunto que tem duas operações: adição e multiplicação, e precisa satisfazer algumas regras, como ter um elemento neutro para a adição (que é o 0), ser fechado na adição e multiplicação, e ter inversos aditivos.
Um subanel é, basicamente, um conjunto que é um anel por si só dentro de outro anel maior. Então, para o conjunto
ser um subanel de
, ele precisa satisfazer todas as propriedades de um anel dentro de
.
Passo 3
Vamos verificar as propriedades necessárias uma a uma:
-
Elemento Neutro para a Adição: O conjunto precisa conter o 0. No nosso caso,
, então está ok. -
Fechamento pela Adição: Se somarmos quaisquer dois elementos do conjunto, o resultado também deve estar no conjunto.
-
(não está no conjunto) -
(está no conjunto) -
(está no conjunto) -
(está no conjunto) -
(está no conjunto) -
(não está no conjunto)
Já vimos que algumas somas saem do conjunto, então não é fechado pela adição. -
-
Fechamento pela Multiplicação: Se multiplicarmos quaisquer dois elementos do conjunto, o resultado também deve estar no conjunto.
-
(está no conjunto) -
(está no conjunto) -
(está no conjunto) -
(está no conjunto) -
(está no conjunto) -
(está no conjunto)
Aqui, todas as multiplicações ficam dentro do conjunto. -
-
Existência de Inversos Aditivos: Para cada elemento
no conjunto, deve existir um também no conjunto. -
tem inverso -
tem inverso -
tem inverso
Isso está ok. -
Passo 4
Apesar de o conjunto
ter o elemento neutro para a adição, estar fechado pela multiplicação e ter inversos aditivos, ele não está fechado pela adição, já que, por exemplo,
e
não estão no conjunto. Essa falta de fechamento pela adição significa que o conjunto não satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um subanel.
Resposta
O conjunto
não é um subanel de
porque não é fechado pela adição.