Seja
o grupo diedral de ordem
, onde
. Assinale a alternativa incorreta.
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tem um subgrupo normal de ordem 2 .
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos o grupo diedral
de ordem
, onde
. A questão nos apresenta a afirmação de que
possui um subgrupo normal de ordem 2 e nos pede para verificar se essa afirmação está correta ou não. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de grupos, subgrupos e especialmente sobre grupos normais.
Passo 2
Vamos relembrar o que é um grupo diedral
. Ele representa o grupo de simetrias de um polígono regular de
lados, incluindo rotações e reflexões. A ordem do grupo, ou seja, o número total de elementos, é
porque há
rotações e
reflexões.
Passo 3
Agora, precisamos entender o que é um subgrupo normal. Um subgrupo
de um grupo
é normal se, para todo elemento
em
e todo elemento
em
, o elemento
está também em
. Em outras palavras, o subgrupo é “invariável” sob conjugação pelos elementos do grupo maior.
Passo 4
Vamos verificar se
tem um subgrupo normal de ordem 2. Observamos que um subgrupo de ordem 2 conteria apenas a identidade e um elemento de ordem 2. No grupo diedral
, os elementos de ordem 2 são as reflexões. Porém, nem toda reflexão gera um subgrupo normal. Além disso, quando
é par,
possui um centro
de ordem 2, que é um subgrupo normal. Porém, quando
é ímpar, o centro é trivial, ou seja, só contém a identidade, e não existe um subgrupo normal de ordem 2.
Passo 5
Portanto, a afirmação de que
tem um subgrupo normal de ordem 2 não é verdadeira para todos os
. Ela é verdadeira somente quando
é par. Como a afirmação não especifica que
é par, ela não é correta em geral.
Resposta
A afirmação é incorreta, pois
só possui um subgrupo normal de ordem 2 quando
é par.