Seja Dn o grupo diedral de ordem 2n, onde n ≥ 3. Assinale a alternativa incorreta.
© Dn tem um subgrupo normal de ordem 2 .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos o grupo diedral de ordem , onde . A questão nos apresenta a afirmação de que possui um subgrupo normal de ordem 2 e nos pede para verificar se essa afirmação está correta ou não. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de grupos, subgrupos e especialmente sobre grupos normais.

Passo 2

Vamos relembrar o que é um grupo diedral . Ele representa o grupo de simetrias de um polígono regular de lados, incluindo rotações e reflexões. A ordem do grupo, ou seja, o número total de elementos, é porque há rotações e reflexões.

Passo 3

Agora, precisamos entender o que é um subgrupo normal. Um subgrupo de um grupo é normal se, para todo elemento em e todo elemento em , o elemento está também em . Em outras palavras, o subgrupo é “invariável” sob conjugação pelos elementos do grupo maior.

Passo 4

Vamos verificar se tem um subgrupo normal de ordem 2. Observamos que um subgrupo de ordem 2 conteria apenas a identidade e um elemento de ordem 2. No grupo diedral , os elementos de ordem 2 são as reflexões. Porém, nem toda reflexão gera um subgrupo normal. Além disso, quando é par, possui um centro de ordem 2, que é um subgrupo normal. Porém, quando é ímpar, o centro é trivial, ou seja, só contém a identidade, e não existe um subgrupo normal de ordem 2.

Passo 5

Portanto, a afirmação de que tem um subgrupo normal de ordem 2 não é verdadeira para todos os . Ela é verdadeira somente quando é par. Como a afirmação não especifica que é par, ela não é correta em geral.

Resposta

A afirmação é incorreta, pois só possui um subgrupo normal de ordem 2 quando é par.

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