Seja
uma matriz real de ordem
com
autovalores distintos. Seja
uma matriz que comuta com
, onde
representa a matriz identidade de ordem
. Considere as seguintes afirmações:
(IV) A forma de Jordan de
é uma matriz diagonal
(IV) A forma de Jordan de
Passo 1
Vamos analisar a afirmação de que a forma de Jordan de
é uma matriz diagonal. Estamos trabalhando com matrizes que comutam (
), onde
é uma matriz real de ordem
com
autovalores distintos. Para resolver isso, precisamos entender conceitos como autovalores, diagonalização de matrizes e a forma de Jordan.
Passo 2
Primeiro, como
possui
autovalores distintos, sabemos que ela é diagonalizável. Diagonalização significa que existe uma matriz invertível
tal que
é uma matriz diagonal. Isso ocorre porque matrizes com autovalores distintos têm uma base de autovetores completa.
Passo 3
Agora, consideremos a matriz
que comuta com
(
). Quando duas matrizes comutam e uma delas é diagonalizável com autovalores distintos, isso implica que elas podem ser diagonalizadas simultaneamente. Em outras palavras, existe a mesma matriz
que diagonaliza
e também diagonaliza
.
Passo 4
Como
pode ser diagonalizada pela mesma matriz
que diagonaliza
, a forma de Jordan de
deve ser uma matriz diagonal. Isso porque a forma de Jordan de uma matriz diagonal é a própria matriz diagonal, e não há blocos de Jordan associados a autovalores repetidos (já que
tem autovalores distintos, garantindo que
também seja diagonalizável).
Resposta
A afirmação (IV) é verdadeira. A forma de Jordan de
é uma matriz diagonal.