Seja A uma matriz real de ordem n > 1 com n autovalores distintos. Seja B != I_n uma matriz que comuta com A, onde In representa a matriz identidade de ordem n. Considere as seguintes afirmações:
(IV) A forma de Jordan de B é uma matriz diagonal

Passo 1

Vamos analisar a afirmação de que a forma de Jordan de é uma matriz diagonal. Estamos trabalhando com matrizes que comutam ( ), onde é uma matriz real de ordem com autovalores distintos. Para resolver isso, precisamos entender conceitos como autovalores, diagonalização de matrizes e a forma de Jordan.

Passo 2

Primeiro, como possui autovalores distintos, sabemos que ela é diagonalizável. Diagonalização significa que existe uma matriz invertível tal que é uma matriz diagonal. Isso ocorre porque matrizes com autovalores distintos têm uma base de autovetores completa.

Passo 3

Agora, consideremos a matriz que comuta com ( ). Quando duas matrizes comutam e uma delas é diagonalizável com autovalores distintos, isso implica que elas podem ser diagonalizadas simultaneamente. Em outras palavras, existe a mesma matriz que diagonaliza e também diagonaliza .

Passo 4

Como pode ser diagonalizada pela mesma matriz que diagonaliza , a forma de Jordan de deve ser uma matriz diagonal. Isso porque a forma de Jordan de uma matriz diagonal é a própria matriz diagonal, e não há blocos de Jordan associados a autovalores repetidos (já que tem autovalores distintos, garantindo que também seja diagonalizável).

Resposta

A afirmação (IV) é verdadeira. A forma de Jordan de é uma matriz diagonal.

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