Seja
o espaço vetorial real das funções polinomiais
, seja
o operador derivação,
, e seja
o operador definido por
. Considere as seguintes afirmações:
(IV)
é injetor
(IV)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um espaço vetorial das funções polinomiais reais
. A gente tem dois operadores:
, que faz a derivada de um polinômio, e
, que multiplica o polinômio por
. A questão quer saber se a afirmação (IV) “T é injetor” é verdadeira. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um operador ser injetor e analisar como o operador
funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um operador injetor. Um operador
é injetor se, sempre que
, então
. Ou seja,
não “esconde” nenhum polinômio diferente; cada polinômio diferente tem uma imagem distinta.
Passo 3
Agora, vamos ver o que o operador
faz exatamente. Ele pega um polinômio
e retorna
. Isso significa que cada termo do polinômio é multiplicado por
, aumentando o grau do polinômio em 1.
Passo 4
Para verificar se
é injetor, vamos supor que
. Então, temos:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(exceto em
, mas como polinômios são iguais em todos os pontos, não tem problema):
Isso mostra que, se
, então necessariamente
.
Passo 5
Outra maneira de ver isso é observar o núcleo de
. Se
, então:
Para toda
, isso só é possível se
. Portanto, o núcleo de
só contém o polinômio zero, o que confirma que
é injetor.
Resposta
Sim, o operador
é injetor.