Seja V = R[t] o espaço vetorial real das funções polinomiais p: R -> R, seja D: V -> V o operador derivação, D(p)(t) = p'(t), e seja T: V -> V o operador definido por T(p)(t) = t * p(t). Considere as seguintes afirmações:
(IV) T é injetor

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um espaço vetorial das funções polinomiais reais . A gente tem dois operadores: , que faz a derivada de um polinômio, e , que multiplica o polinômio por . A questão quer saber se a afirmação (IV) “T é injetor” é verdadeira. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um operador ser injetor e analisar como o operador funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um operador injetor. Um operador é injetor se, sempre que , então . Ou seja, não “esconde” nenhum polinômio diferente; cada polinômio diferente tem uma imagem distinta.

Passo 3

Agora, vamos ver o que o operador faz exatamente. Ele pega um polinômio e retorna . Isso significa que cada termo do polinômio é multiplicado por , aumentando o grau do polinômio em 1.

Passo 4

Para verificar se é injetor, vamos supor que . Então, temos:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por (exceto em , mas como polinômios são iguais em todos os pontos, não tem problema):
Isso mostra que, se , então necessariamente .

Passo 5

Outra maneira de ver isso é observar o núcleo de . Se , então:
Para toda , isso só é possível se . Portanto, o núcleo de só contém o polinômio zero, o que confirma que é injetor.

Resposta

Sim, o operador é injetor.

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