Uma sequência exata de espaços vetoriais de dimensão finita
é uma sequência de transformações lineares Ti tais que ker(T_{i+1}) = im(T_{i}) para i = 0, 1, 2, 3 (denotamos por 0 o espaço vetorial nulo). Se na sequência exata acima dim Vi = di, então é sempre verdade que
(e) d1 + d2 >= d3 + d4
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma sequência exata de espaços vetoriais com transformações lineares entre eles. Isso envolve conceitos de álgebra linear, como núcleo (ker) e imagem (im) de transformações. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma sequência exata e usar as propriedades das dimensões dos espaços vetoriais envolvidos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência exata. Uma sequência de espaços vetoriais e transformações lineares:
é chamada exata se, para cada transformação, o núcleo da transformação seguinte é igual à imagem da transformação atual. Ou seja, para cada i, temos .
Passo 3
Agora, vamos usar o teorema do núcleo e imagem (ou Teorema da Dimensão). Esse teorema nos diz que, para uma transformação linear , temos:
Isso nos ajuda a relacionar as dimensões dos espaços e as transformações entre eles.
Passo 4
Aplicando o teorema do núcleo e imagem às transformações da sequência exata, podemos escrever:
Para :
Como o espaço 0 tem dimensão 0, temos .
Passo 5
Para :
Como e tem dimensão 0, então .
Passo 6
Repetindo isso para todas as transformações na sequência, obtemos relações semelhantes:
Para :
E para :
E finalmente, para :
Novamente, como a imagem é 0, .
Passo 7
Somando as dimensões das imagens das transformações:
Mas, como a sequência é exata, temos que . Portanto, as dimensões das imagens se relacionam diretamente com as dimensões dos núcleos das próximas transformações.
Passo 8
Finalmente, reorganizando os termos e aplicando as relações obtidas, concluímos que: