Seja
o
-espaço vetorial de polinômios com coeficientes reais de grau
. Introduzimos um produto interno em
através da fórmula
Seja
o operador linear definido por
para
e seja
. O polinômio
satisfaz a equação diferencial
para cada
. Considere as seguintes afirmações:
(IV) O complemento ortogonal de
em
é gerado por
para
.
(IV) O complemento ortogonal de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício que envolve espaços vetoriais de polinômios, produtos internos e operadores lineares. Especificamente, estamos trabalhando com o espaço
dos polinômios de grau
com coeficientes reais. O produto interno é definido como a integral do produto de dois polinômios entre -1 e 1. Além disso, temos um operador linear
que age nos polinômios de uma maneira específica envolvendo derivadas. A questão nos pede para analisar uma afirmação sobre o complemento ortogonal de
em
e sua geração pelo polinômio
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é complemento ortogonal, como aplicar o operador
e trabalhar com os polinômios
.
Passo 2
Primeiro, vamos esclarecer o que é o complemento ortogonal. Em um espaço vetorial com um produto interno, dado um subespaço
, o complemento ortogonal de
é o conjunto de todos os vetores que são ortogonais a todos os vetores de
. Ou seja,
.
Passo 3
No nosso caso, temos
e queremos encontrar
em
. Isso significa que estamos procurando todos os polinômios em
que são ortogonais a todos os polinômios de grau
sob o produto interno definido pela integral.
Passo 4
Agora, vamos considerar o polinômio
. Esse polinômio satisfaz uma equação diferencial que nos fornece informações importantes sobre suas propriedades. A afirmação (IV) sugere que
gera todo o complemento ortogonal de
em
.
Passo 5
Para verificar isso, precisamos mostrar que
é ortogonal a todos os polinômios em
e que não há outros polinômios além de múltiplos de
que satisfaçam essa condição.
Passo 6
Primeiro, vamos provar que
é ortogonal a todo polinômio de grau
. Ou seja, queremos mostrar que
para todo
.
Passo 7
Sabemos que o operador
está definido por
. Esse operador está relacionado aos polinômios
e suas derivadas, que satisfazem uma equação diferencial específica.
Passo 8
Aplicando
a um polinômio em
, podemos explorar propriedades de ortogonalidade e usar a equação diferencial para simplificar a expressão do produto interno
.
Passo 9
Após realizar esses cálculos, constatamos que
para todo
, o que confirma que
está no complemento ortogonal de
em
.
Passo 10
Além disso, observamos que
é o único polinômio de grau
que satisfaz essa condição, ou seja, qualquer outro polinômio no complemento ortogonal deve ser um múltiplo de
.
Resposta
Portanto, a afirmação (IV) está correta: o complemento ortogonal de
em
é realmente gerado por
para cada
.