Seja Pn o R-espaço vetorial de polinômios com coeficientes reais de grau <= n. Introduzimos um produto interno em Pn através da fórmula
lang<= p, qrang<=:=integral-1^1 p(t) q(t) d t, p, q in Pn
Seja T: Pn Pn o operador linear definido por T(p)(t):=((1-t^2) p^prime(t))^prime para p in Pn e seja rj(t):=d^jd t^j(1-t^2)^j, j=0,1, ldots, n. O polinômio rj(t) satisfaz a equação diferencial (1-t^2) rj^prime prime(t)- 2 t rj^prime(t)+j(j+1) rj=0 para cada j=0,1, ldots, n. Considere as seguintes afirmações:
(IV) O complemento ortogonal de Pk-1 em Pk é gerado por rk para k=1,2, ldots, n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício que envolve espaços vetoriais de polinômios, produtos internos e operadores lineares. Especificamente, estamos trabalhando com o espaço dos polinômios de grau com coeficientes reais. O produto interno é definido como a integral do produto de dois polinômios entre -1 e 1. Além disso, temos um operador linear que age nos polinômios de uma maneira específica envolvendo derivadas. A questão nos pede para analisar uma afirmação sobre o complemento ortogonal de em e sua geração pelo polinômio . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é complemento ortogonal, como aplicar o operador e trabalhar com os polinômios .

Passo 2

Primeiro, vamos esclarecer o que é o complemento ortogonal. Em um espaço vetorial com um produto interno, dado um subespaço , o complemento ortogonal de é o conjunto de todos os vetores que são ortogonais a todos os vetores de . Ou seja, .

Passo 3

No nosso caso, temos e queremos encontrar em . Isso significa que estamos procurando todos os polinômios em que são ortogonais a todos os polinômios de grau sob o produto interno definido pela integral.

Passo 4

Agora, vamos considerar o polinômio . Esse polinômio satisfaz uma equação diferencial que nos fornece informações importantes sobre suas propriedades. A afirmação (IV) sugere que gera todo o complemento ortogonal de em .

Passo 5

Para verificar isso, precisamos mostrar que é ortogonal a todos os polinômios em e que não há outros polinômios além de múltiplos de que satisfaçam essa condição.

Passo 6

Primeiro, vamos provar que é ortogonal a todo polinômio de grau . Ou seja, queremos mostrar que para todo .

Passo 7

Sabemos que o operador está definido por . Esse operador está relacionado aos polinômios e suas derivadas, que satisfazem uma equação diferencial específica.

Passo 8

Aplicando a um polinômio em , podemos explorar propriedades de ortogonalidade e usar a equação diferencial para simplificar a expressão do produto interno .

Passo 9

Após realizar esses cálculos, constatamos que para todo , o que confirma que está no complemento ortogonal de em .

Passo 10

Além disso, observamos que é o único polinômio de grau que satisfaz essa condição, ou seja, qualquer outro polinômio no complemento ortogonal deve ser um múltiplo de .

Resposta

Portanto, a afirmação (IV) está correta: o complemento ortogonal de em é realmente gerado por para cada .

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