Seja um campo vetorial de classe em . Analise as afirmações a seguir, que são feitas em relação ao campo vetorial , e decida se cada uma delas é verdadeira ou falsa.
(II) Se é um campo conservativo, então para toda superfície fechada em .
( ) Verdadeira
( ) Falsa
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial que é de classe em , ou seja, em todo o espaço tridimensional menos na origem. A afirmação que precisamos analisar é:
(II) Se é um campo conservativo, então para toda superfície fechada em .
Nosso objetivo é decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um campo ser conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial tal que . Isso implica que o campo possui circulação nula em qualquer caminho fechado, ou seja, para qualquer curva fechada .
Passo 3
Agora, vamos relacionar isso com a integral de superfície . Pela Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss), sabemos que:
onde é o volume limitado pela superfície fechada , e é a divergência de .
Passo 4
Se é conservativo, ou seja, , então a divergência de é:
onde é o laplaciano de .
Passo 5
Para que para toda superfície fechada em , precisamos que em . Isso porque, pelo Teorema da Divergência, teríamos:
para todo volume em .
Passo 6
No entanto, nem todo campo conservativo possui divergência nula. Um campo ser conservativo implica que ele é irrotacional (), mas não necessariamente que sua divergência seja zero. Portanto, a afirmação de que para toda superfície fechada em não é necessariamente verdadeira apenas porque o campo é conservativo.