Seja F um campo vetorial de classe C^1 em Omega=R^3-(0,0,0). Analise as afirmações a seguir, que são feitas em relação ao campo vetorial F, e decida se cada uma delas é verdadeira ou falsa.
(II) Se F é um campo conservativo, então integral duplaS F cdot n d S=0 para toda superfície S fechada em Omega.
( ) Verdadeira
( ) Falsa

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial que é de classe em , ou seja, em todo o espaço tridimensional menos na origem. A afirmação que precisamos analisar é:
(II) Se é um campo conservativo, então para toda superfície fechada em .
Nosso objetivo é decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um campo ser conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial tal que . Isso implica que o campo possui circulação nula em qualquer caminho fechado, ou seja, para qualquer curva fechada .

Passo 3

Agora, vamos relacionar isso com a integral de superfície integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV . Pela Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss), sabemos que:
onde é o volume limitado pela superfície fechada , e é a divergência de .

Passo 4

Se nabla cdot F = nabla cdot (nabla phi) = De é conservativo, ou seja, , então a divergência de é:
onde é o laplaciano de .

Passo 5

Para que integral triplaV nabla cdot F , dV = 0 implies nabla cdot F = 0 para toda superfície fechada em , precisamos que em . Isso porque, pelo Teorema da Divergência, teríamos:
para todo volume em .

Passo 6

No entanto, nem todo campo conservativo possui divergência nula. Um campo ser conservativo implica que ele é irrotacional ( ), mas não necessariamente que sua divergência seja zero. Portanto, a afirmação de que para toda superfície fechada em não é necessariamente verdadeira apenas porque o campo é conservativo.

Resposta

Falsa

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