Seja
um campo vetorial de classe
em
. Analise as afirmações a seguir, que são feitas em relação ao campo vetorial
, e decida se cada uma delas é verdadeira ou falsa.
(II) Se
é um campo conservativo, então
para toda superfície
fechada em
.
( ) Verdadeira
( ) Falsa
(II) Se
( ) Verdadeira
( ) Falsa
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial
que é de classe
em
, ou seja, em todo o espaço tridimensional menos na origem. A afirmação que precisamos analisar é:
(II) Se
é um campo conservativo, então
para toda superfície fechada
em
.
Nosso objetivo é decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um campo ser conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Isso implica que o campo possui circulação nula em qualquer caminho fechado, ou seja,
para qualquer curva fechada
.
Passo 3
Agora, vamos relacionar isso com a integral de superfície
. Pela Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss), sabemos que:
onde
é o volume limitado pela superfície fechada
, e
é a divergência de
.
Passo 4
Se
é conservativo, ou seja,
, então a divergência de
é:
onde
é o laplaciano de
.
Passo 5
Para que
para toda superfície fechada
em
, precisamos que
em
. Isso porque, pelo Teorema da Divergência, teríamos:
para todo volume
em
.
Passo 6
No entanto, nem todo campo conservativo possui divergência nula. Um campo ser conservativo implica que ele é irrotacional (
), mas não necessariamente que sua divergência
seja zero. Portanto, a afirmação de que
para toda superfície fechada
em
não é necessariamente verdadeira apenas porque o campo é conservativo.
Resposta
Falsa