Seja f(x)=e^x-4 x^2 e xi in(0,1). Se x0=0,5, encontre xi com epsilon1=epsilon2=10^-4, usando:
(a) o MPF com varphi(x)=12 e^x2, verifique as condições de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar um valor no intervalo (0,1) que satisfaz a equação , começando com . A matéria que estamos usando aqui é o Método do Ponto Fixo (MPF), que ajuda a gente a encontrar raízes de equações de uma forma iterativa. Para isso, vamos precisar da função e garantir que as condições de convergência sejam atendidas para que o método funcione bem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Método do Ponto Fixo. Esse método transforma uma equação em uma forma , e então gera uma sequência que, se tudo der certo, vai convergir para a solução . Para garantir que a sequência realmente chegue perto de , precisamos que a função seja “boa o suficiente”, ou seja, que ela satisfaça certas condições de convergência.

Passo 3

Agora, vamos verificar as condições de convergência para a nossa função varphi'(x) = ddx ( 12 e^x2 ) = 14 e^x2 . As principais condições são:
  1. Continuidade da varphi'(0) = 14 e^0 = 14 < 1 varphi'(1) = 14 e^12 approx 14 times 1,6487 approx 0,412 < 1 : A função precisa ser contínua no intervalo considerado, que é (0,1). A exponencial é uma função contínua, então estamos tranquilos por aqui.
  2. Existência de tal que : Isso significa que é um ponto fixo da função. Vamos verificar isso mais adiante durante as iterações.
  3. Convergência pela Derivada: A derivada da , , deve ter módulo menor que 1 no intervalo (0,1) para garantir que a sequência vai convergir para .
Vamos calcular a derivada:
No intervalo (0,1), varia de 0 a 1, então:
Como a derivada está sempre menor que 1 no intervalo, as condições de convergência estão satisfeitas.

Passo 4

Agora que garantimos que as condições de convergência estão ok, vamos aplicar o método. Começamos com xn+1 = varphi(xn) = 12 e^xn2 e usamos a fórmula:
x1 = 12 e^0,52 = 12 e^0,25 approx 12 times 1,2840 approx 0,6420
Vamos iterar até que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor que x2 = 12 e^0,64202 = 12 e^0,3210 approx 12 times 1,3797 approx 0,6899 . Vamos ver:
  1. Primeira iteração ( x3 = 12 e^0,68992 = 12 e^0,34495 approx 12 times 1,4125 approx 0,7063 ):
    x4 = 12 e^0,70632 = 12 e^0,35315 approx 12 times 1,4240 approx 0,7120
    Erro: x5 = 12 e^0,71202 = 12 e^0,3560 approx 12 times 1,4274 approx 0,7137
  2. Segunda iteração ( x6 = 12 e^0,71372 = 12 e^0,35685 approx 12 times 1,4295 approx 0,7148 ):
    x7 = 12 e^0,71482 = 12 e^0,3574 approx 12 times 1,4307 approx 0,7154
    Erro: x8 = 12 e^0,71542 = 12 e^0,3577 approx 12 times 1,4313 approx 0,7157
  3. Terceira iteração ( x9 = 12 e^0,71572 = 12 e^0,35785 approx 12 times 1,4315 approx 0,7158 ):
    Erro:
  4. Quarta iteração ( ):
    Erro:
  5. Quinta iteração ( ):
    Erro:
  6. Sexta iteração ( ):
    Erro:
  7. Sétima iteração ( ):
    Erro:
  8. Oitava iteração ( ):
    Erro:
  9. Nona iteração ( ):
    Erro:

Resposta

Aproximadamente, com erro menor ou igual a .

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