Seja
e
. Se
, encontre
com
, usando:
(a) o MPF
, verifique as condições de convergência.
(a) o MPF
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar um valor
no intervalo (0,1) que satisfaz a equação
, começando com
. A matéria que estamos usando aqui é o Método do Ponto Fixo (MPF), que ajuda a gente a encontrar raízes de equações de uma forma iterativa. Para isso, vamos precisar da função
e garantir que as condições de convergência sejam atendidas para que o método funcione bem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Método do Ponto Fixo. Esse método transforma uma equação
em uma forma
, e então gera uma sequência
que, se tudo der certo, vai convergir para a solução
. Para garantir que a sequência realmente chegue perto de
, precisamos que a função
seja “boa o suficiente”, ou seja, que ela satisfaça certas condições de convergência.
Passo 3
Agora, vamos verificar as condições de convergência para a nossa função
. As principais condições são:
-
Continuidade da
: A função precisa ser contínua no intervalo considerado, que é (0,1). A exponencial é uma função contínua, então estamos tranquilos por aqui. -
Existência de
tal que : Isso significa que é um ponto fixo da função. Vamos verificar isso mais adiante durante as iterações. -
Convergência pela Derivada: A derivada da
, , deve ter módulo menor que 1 no intervalo (0,1) para garantir que a sequência vai convergir para .
Vamos calcular a derivada:
No intervalo (0,1),
varia de 0 a 1, então:
Como a derivada está sempre menor que 1 no intervalo, as condições de convergência estão satisfeitas.
Passo 4
Agora que garantimos que as condições de convergência estão ok, vamos aplicar o método. Começamos com
e usamos a fórmula:
Vamos iterar até que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor que
. Vamos ver:
-
Primeira iteração (
): Erro: -
Segunda iteração (
): Erro: -
Terceira iteração (
): Erro: -
Quarta iteração (
): Erro: -
Quinta iteração (
): Erro: -
Sexta iteração (
): Erro: -
Sétima iteração (
): Erro: -
Oitava iteração (
): Erro: -
Nona iteração (
): Erro:
Resposta
Aproximadamente,
com erro menor ou igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções:
.
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função
, isto é,
e
, onde:
Seja
. Defina
. Mostre que esta definição é independente dos representantes, isto é, se
e
então,
.
Escreva:
(a) 1472 em base 5 .
(a) 1472 em base 5 .