Seja e . Se , encontre com , usando:
(a) o MPF , verifique as condições de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar um valor no intervalo (0,1) que satisfaz a equação , começando com . A matéria que estamos usando aqui é o Método do Ponto Fixo (MPF), que ajuda a gente a encontrar raízes de equações de uma forma iterativa. Para isso, vamos precisar da função e garantir que as condições de convergência sejam atendidas para que o método funcione bem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Método do Ponto Fixo. Esse método transforma uma equação em uma forma , e então gera uma sequência que, se tudo der certo, vai convergir para a solução . Para garantir que a sequência realmente chegue perto de , precisamos que a função seja “boa o suficiente”, ou seja, que ela satisfaça certas condições de convergência.

Passo 3

Agora, vamos verificar as condições de convergência para a nossa função . As principais condições são:
  1. Continuidade da : A função precisa ser contínua no intervalo considerado, que é (0,1). A exponencial é uma função contínua, então estamos tranquilos por aqui.
  2. Existência de tal que : Isso significa que é um ponto fixo da função. Vamos verificar isso mais adiante durante as iterações.
  3. Convergência pela Derivada: A derivada da , , deve ter módulo menor que 1 no intervalo (0,1) para garantir que a sequência vai convergir para .
Vamos calcular a derivada:
No intervalo (0,1), varia de 0 a 1, então:
Como a derivada está sempre menor que 1 no intervalo, as condições de convergência estão satisfeitas.

Passo 4

Agora que garantimos que as condições de convergência estão ok, vamos aplicar o método. Começamos com e usamos a fórmula:
Vamos iterar até que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor que . Vamos ver:
  1. Primeira iteração ( ):
    Erro:
  2. Segunda iteração ( ):
    Erro:
  3. Terceira iteração ( ):
    Erro:
  4. Quarta iteração ( ):
    Erro:
  5. Quinta iteração ( ):
    Erro:
  6. Sexta iteração ( ):
    Erro:
  7. Sétima iteração ( ):
    Erro:
  8. Oitava iteração ( ):
    Erro:
  9. Nona iteração ( ):
    Erro:

Resposta

Aproximadamente, com erro menor ou igual a .

Exercícios relacionados

Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções:
.
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função , isto é, e , onde:
Seja . Defina . Mostre que esta definição é independente dos representantes, isto é, se e então, .
Escreva:
(a) 1472 em base 5 .