Seja
. Defina
. Mostre que esta definição é independente dos representantes, isto é, se
e
então,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está falando sobre álgebra abstrata, especificamente sobre a construção dos números racionais a partir dos inteiros. A gente tem um conjunto
, onde
são os inteiros e
são os inteiros não nulos. A definição dada para a soma de duas frações é
. O objetivo é mostrar que essa definição de soma não depende dos representantes escolhidos para as frações, ou seja, se mudarmos os numeradores e denominadores mantendo a mesma fração, a soma continua a mesma.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que
. Isso quer dizer que as duas frações
e
são iguais, ou seja,
. Esse é o critério de igualdade para frações: duas frações são iguais se o produto cruzado dos numeradores e denominadores for igual.
Passo 3
Agora, vamos assumir que
e
. Ou seja, temos:
Precisamos mostrar que:
Usando a definição da soma, isso significa que:
Passo 4
Vamos calcular o numerador e o denominador de cada lado da igualdade que queremos provar.
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:
Queremos mostrar que:
Passo 5
Expandindo os dois lados da igualdade:
Esquerdo:
Direito:
Mas sabemos que
e
. Vamos substituir essas igualdades.
Substituindo
e
na expressão do lado direito:
Isso é igual ao lado esquerdo:
Portanto, os dois lados são iguais.
Resposta
Assim, mostramos que
, ou seja, a definição da soma é independente dos representantes escolhidos.