Seja Q:=(Z times Z^*) / r. Defina lang<= a, brang<= / r+lang<= c, drang<= / r:=lang<= a d+b c, b drang<= / r. Mostre que esta definição é independente dos representantes, isto é, se lang<= a, brang<= / r=lang<= a^prime, b^primerang<= / r e lang<= c, drang<= / r=lang<= c^prime, d^primerang<= / r então, lang<= a, brang<= / r+lang<= c, drang<= / r=lang<= a^prime, b^primerang<= / r+lang<= c^prime, d^primerang<= / r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está falando sobre álgebra abstrata, especificamente sobre a construção dos números racionais a partir dos inteiros. A gente tem um conjunto Q := (Z times Z^*) / r, onde Z são os inteiros e Z^* são os inteiros não nulos. A definição dada para a soma de duas frações é lang<= a, brang<= / r + lang<= c, drang<= / r := lang<= a d + b c, b drang<= / r. O objetivo é mostrar que essa definição de soma não depende dos representantes escolhidos para as frações, ou seja, se mudarmos os numeradores e denominadores mantendo a mesma fração, a soma continua a mesma.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que lang<= a, brang<= / r = lang<= a', b'rang<= / r. Isso quer dizer que as duas frações ab e a'b' são iguais, ou seja, a b' = a' b. Esse é o critério de igualdade para frações: duas frações são iguais se o produto cruzado dos numeradores e denominadores for igual.

Passo 3

Agora, vamos assumir que lang<= a, brang<= / r = lang<= a', b'rang<= / r e lang<= c, drang<= / r = lang<= c', d'rang<= / r. Ou seja, temos:
a b' = a' b e c d' = c' d
Precisamos mostrar que:
lang<= a, brang<= / r + lang<= c, drang<= / r = lang<= a', b'rang<= / r + lang<= c', d'rang<= / r
Usando a definição da soma, isso significa que:
lang<= a d + b c, b drang<= / r = lang<= a' d' + b' c', b' d'rang<= / r

Passo 4

Vamos calcular o numerador e o denominador de cada lado da igualdade que queremos provar.
Para o lado esquerdo:
a d + b c e b d
Para o lado direito:
a' d' + b' c' e b' d'
Queremos mostrar que:
(a d + b c) b' d' = (a' d' + b' c') b d

Passo 5

Expandindo os dois lados da igualdade:
Esquerdo:
a d b' d' + b c b' d'
Direito:
a' d' b d + b' c' b d
Mas sabemos que a b' = a' b e c d' = c' d. Vamos substituir essas igualdades.
Substituindo a' = a b'b e c' = c d'd na expressão do lado direito:
(a b'b) d' b d + b' (c d'd) b d = a b' d' + b' c d'
Isso é igual ao lado esquerdo:
a d b' d' + b c b' d' = a b' d' + b c d'
Portanto, os dois lados são iguais.

Resposta

Assim, mostramos que lang<= a, brang<= / r + lang<= c, drang<= / r = lang<= a', b'rang<= / r + lang<= c', d'rang<= / r, ou seja, a definição da soma é independente dos representantes escolhidos.

Exercícios relacionados