sumn=2^infty 3^-2 n(-6)^4-n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma soma infinita que envolve potências de 3 e -6. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre séries geométricas, que são somas com uma razão constante entre os termos. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão da soma e aplicar a fórmula da série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da soma:
sumn=2^infty 3^-2n(-6)^4-n
Podemos reescrever os termos com expoentes positivos:
3^-2n = 13^2n e (-6)^4-n = (-6)^4(-6)^n = 1296(-6)^n
Então, a expressão fica:
13^2n div 1296(-6)^n = (-6)^n1296 cdot 3^2n

Passo 3

Agora, vamos simplificar ainda mais:
3^2n = (3^2)^n = 9^n e (-6)^n = (-1)^n cdot 6^n
Substituindo na expressão:
(-1)^n cdot 6^n1296 cdot 9^n = (-1)^n1296 cdot (69)^n = (-1)^n1296 cdot (23)^n

Passo 4

Agora, a soma fica assim:
sumn=2^infty (-1)^n1296 (23)^n
Podemos fatorar a constante:
11296 sumn=2^infty (-1)^n (23)^n

Passo 5

Essa é uma série geométrica onde a razão sumn=0^infty ar^n = a1 - r (se |r| < 1) . Sabemos que para uma série geométrica infinita, a soma é dada por:
sumn=2^infty ar^n = ar^21 - r
Mas nosso somatório começa em , então ajustamos a fórmula:

Passo 6

Aplicando isso na nossa soma:
11296 cdot (-1)^2 (23)^21 - (-23) = 11296 cdot 491 + 23 = 11296 cdot 4953 = 11296 cdot 1245

Passo 7

Simplificando os números:
1245 = 415 então 11296 cdot 415 = 419440 = 14860 ã

Resposta

A soma da série é .

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