Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma soma infinita que envolve potências de 3 e -6. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre séries geométricas, que são somas com uma razão constante entre os termos. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão da soma e aplicar a fórmula da série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da soma:
Podemos reescrever os termos com expoentes positivos:
Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar ainda mais:
Substituindo na expressão:

Passo 4

Agora, a soma fica assim:
Podemos fatorar a constante:

Passo 5

Essa é uma série geométrica onde a razão . Sabemos que para uma série geométrica infinita, a soma é dada por:
Mas nosso somatório começa em , então ajustamos a fórmula:

Passo 6

Aplicando isso na nossa soma:

Passo 7

Simplificando os números:
ã

Resposta

A soma da série é .

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A temperatura em é dada por .
b) Em que direção aumenta mais rapidamente em ? Resp.:
Seja . Encontre um vetor ortogonal ao e determine a taxa de variação de na direção de e interprete o significado geométrico desse valor encontrado. É possível generalizar esse resultado, ou seja, a taxa de variação de uma dada função na direção perpendicular ao gradiente é sempre nula? Justifique sua resposta, com base em argumentos da teoria.
Resp.: e .
Dadas as matrizes
Calcule
Dadas as matrizes
Calcule