A temperatura
em
é dada por
.
b) Em que direção
aumenta mais rapidamente em
? Resp.:
b) Em que direção
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A temperatura
é dada pela função
. Queremos descobrir em qual direção a temperatura aumenta mais rapidamente no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente, que nos indica a direção de maior aumento de uma função.
Passo 2
O gradiente de uma função
é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis. Ou seja,
Vamos calcular cada uma dessas derivadas para a função dada.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Isso significa que a taxa de variação de
em relação a
é
.
Passo 4
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui, a taxa de variação de
em relação a
é
.
Passo 5
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Portanto, a taxa de variação de
em relação a
é
.
Passo 6
Agora, juntando todas as derivadas parciais, obtemos o gradiente de
:
Este vetor indica a direção na qual a temperatura
aumenta mais rapidamente no ponto
.
Resposta
A direção em que
aumenta mais rapidamente em
é dada pelo gradiente: