A temperatura em é dada por .
b) Em que direção aumenta mais rapidamente em ? Resp.:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A temperatura é dada pela função . Queremos descobrir em qual direção a temperatura aumenta mais rapidamente no ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente, que nos indica a direção de maior aumento de uma função.
Passo 2
O gradiente de uma função é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis. Ou seja,
Vamos calcular cada uma dessas derivadas para a função dada.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de em relação a :
Isso significa que a taxa de variação de em relação a é .
Passo 4
Calculando a derivada parcial de em relação a :
Aqui, a taxa de variação de em relação a é .
Passo 5
Calculando a derivada parcial de em relação a :
Portanto, a taxa de variação de em relação a é .
Passo 6
Agora, juntando todas as derivadas parciais, obtemos o gradiente de :
Este vetor indica a direção na qual a temperatura aumenta mais rapidamente no ponto .
Resposta
A direção em que aumenta mais rapidamente em é dada pelo gradiente: