A temperatura em é dada por .
b) Em que direção aumenta mais rapidamente em ? Resp.:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A temperatura é dada pela função . Queremos descobrir em qual direção a temperatura aumenta mais rapidamente no ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente, que nos indica a direção de maior aumento de uma função.

Passo 2

O gradiente de uma função é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis. Ou seja,
Vamos calcular cada uma dessas derivadas para a função dada.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Isso significa que a taxa de variação de em relação a é .

Passo 4

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Aqui, a taxa de variação de em relação a é .

Passo 5

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Portanto, a taxa de variação de em relação a é .

Passo 6

Agora, juntando todas as derivadas parciais, obtemos o gradiente de :
Este vetor indica a direção na qual a temperatura aumenta mais rapidamente no ponto .

Resposta

A direção em que aumenta mais rapidamente em é dada pelo gradiente:

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Seja . Encontre um vetor ortogonal ao e determine a taxa de variação de na direção de e interprete o significado geométrico desse valor encontrado. É possível generalizar esse resultado, ou seja, a taxa de variação de uma dada função na direção perpendicular ao gradiente é sempre nula? Justifique sua resposta, com base em argumentos da teoria.
Resp.: e .
A temperatura em é dada por .
d) Em que direção decresce mais rapidamente em ? Resp.:
Dadas as matrizes
Calcule