Seja uma esfera com diâmetro 20 mm e uma temperatura superficial de 600 C, que está imersa em um fluido a uma temperatura de 30^circ C e a uma velocidade de 2,5 m / s. Calcule a taxa de transferência de calor quando o fluido é (a) água e (b) ar a pressão atmosférica. Explique por que os resultados para os dois fluidos são tão diferentes.

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma esfera com diâmetro de 20 mm e temperatura superficial de 600°C, imersa em um fluido que está a 30°C e se move a uma velocidade de 2,5 m/s. Precisamos calcular a taxa de transferência de calor quando o fluido é (a) água e (b) ar à pressão atmosférica. Além disso, devemos explicar por que os resultados para os dois fluidos são tão diferentes.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transferência de calor por convecção. Vamos precisar calcular a taxa de transferência de calor usando a Lei de Resfriamento de Newton, que envolve o coeficiente de transferência de calor convectivo. Isso vai nos levar a calcular números adimensionais como o Número de Reynolds e o Número de Nusselt para cada fluido. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a geometria e as condições dadas:
  • Diâmetro da esfera (D): 20 mm = 0,02 m
  • Raio da esfera ®: D/2 = 0,01 m
  • Temperatura da superfície da esfera (T_s): 600°C
  • Temperatura do fluido (T_inf): 30°C
  • Velocidade do fluido (V): 2,5 m/s
A diferença de temperatura (ΔT) entre a superfície da esfera e o fluido é:
De
Vamos precisar calcular a área superfície da esfera (A) para usar na fórmula de transferência de calor. A área de uma esfera é dada por:
A = 4pi r^2
Vamos calcular isso no próximo passo.

Passo 3

Calculando a área superfície da esfera:
A = 4pi r^2 = 4pi (0,01, m)^2 = 4pi (0,0001, m^2) = 0,0012566, m^2
Vamos arredondar para facilitar:
A approx 0,00126, m^2
Agora que temos a área, vamos seguir para calcular a taxa de transferência de calor usando a Lei de Resfriamento de Newton, que é:
Q = h A De
Onde:
  • é a taxa de transferência de calor (W)
  • é o coeficiente de transferência de calor convectivo (W/m²·K)
  • é a área superfície (m²)
  • é a diferença de temperatura (°C ou K)
Precisamos encontrar para cada fluido, o que envolve calcular o Número de Nusselt. Para isso, vamos primeiro calcular o Número de Reynolds.

Passo 4

O Número de Reynolds (Re) é um número adimensional que nos ajuda a determinar o regime de fluxo (laminar ou turbulento) e é calculado pela fórmula:
Re = rho V Dmu
Onde:
  • é a densidade do fluido (kg/m³)
  • é a velocidade do fluido (m/s)
  • é o diâmetro da esfera (m)
  • é a viscosidade dinâmica do fluido (Pa·s)
Vamos precisar das propriedades da água e do ar à temperatura dada.
Propriedades da Água a 30°C:
  • á
  • á
Propriedades do Ar a 30°C e pressão atmosférica:
Vamos calcular o Número de Reynolds para cada fluido.

Passo 5

Calculando o Número de Reynolds para a água:
Reágua = rhoágua times V times Dmuágua = 995 times 2,5 times 0,020,0008 = 49,750,0008 approx 62218,75 ááá
Agora, para o ar:
Rear = rhoar times V times Dmuar = 1,164 times 2,5 times 0,020,000018 = 0,05820,000018 approx 3233,33

Passo 6

Agora que temos os Números de Reynolds, vamos calcular o Número de Nusselt (Nu), que relaciona a transferência de calor convectiva com a condução térmica.
Para uma esfera no regime de fluxo turbulento, podemos usar a correlação de Nusselt para esferas:
Nu = 2 + 0,6 Re^1/2 Pr^1/3
Onde:
  • é o Número de Prandtl (próximo de 7 para a água e cerca de 0,7 para o ar a 30°C)
Vamos calcular para cada fluido.

Passo 7

Vamos assumir os seguintes Nuágua = 2 + 0,6 times (62218,75)^1/2 times (7)^1/3 para simplificação:
  • Água a 30°C: (62218,75)^1/2 approx 249,44 á
  • Ar a 30°C: (7)^1/3 approx 1,913
Calculando Nuágua = 2 + 0,6 times 249,44 times 1,913 approx 2 + 0,6 times 477,02 approx 2 + 286,21 approx 288,21 para a água:
Nuar = 2 + 0,6 times (3233,33)^1/2 times (0,7)^1/3 á
Primeiro, calculamos (3233,33)^1/2 approx 56,86 :
(0,7)^1/3 approx 0,887
E Nuar = 2 + 0,6 times 56,86 times 0,887 approx 2 + 0,6 times 50,54 approx 2 + 30,32 approx 32,32 :
Agora:
á
Agora, para o ar:
Calculando :
E :
Agora:

Passo 8

Com os Números de Nusselt calculados, podemos encontrar o coeficiente de transferência de calor convectivo ( Nu = h Dk ) usando a relação:
h = Nu times kD
Onde é a condutividade térmica do fluido.
Vamos rearranjar para encontrar :
Precisamos dos valores de para a água e para o ar a 30°C:
  • Água a 30°C: á
  • Ar a 30°C:
Agora, vamos calcular para cada fluido.

Passo 9

Calculando hágua = Nuágua times káguaD = 288,21 times 0,60,02 = 172,930,02 = 8646,5, W/m^2cdotK para a água:
har = Nuar times karD = 32,32 times 0,0260,02 = 0,8390,02 = 41,95, W/m^2cdotK ááá
Calculando para o ar:

Passo 10

Agora que temos os coeficientes de transferência de calor convectivo ( Q = h A De) para água e ar, podemos calcular a taxa de transferência de calor ( ) usando a Lei de Resfriamento de Newton:
Já calculamos:
Vamos calcular para cada fluido.

Passo 11

Calculando Qágua = hágua times A times De para a água:
Qar = har times A times Deáá
Calculando para o ar:

Resposta

A taxa de transferência de calor é aproximadamente 6.205 W quando o fluido é água e 30 W quando o fluido é ar à pressão atmosférica. Os resultados são tão diferentes porque a água tem uma condutividade térmica e capacidade de transferência de calor muito maiores que o ar, o que resulta em uma taxa de transferência de calor significativamente maior para a água.

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