Seja V um espaço Euclidiano e d a métrica usual de V. Mostre que as seguintes funções, são distâncias sobre V.
  1. d1(u, v)=raizd(u, v), para todo u, v in V.
  2. d2(u, v)=d(u, v)1+d(u, v), para todo u, v in V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que duas funções específicas são, de fato, distâncias em um espaço Euclidiano com a métrica usual . Para isso, vamos precisar entender o que é uma métrica e verificar se as funções dadas satisfazem as propriedades necessárias para serem consideradas distâncias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as propriedades que uma função precisa satisfazer pra ser uma métrica:
  1. Positividade: Para todo , e se e somente se .
  2. Simetria: Para todo , .
  3. Desigualdade Triangular: Para todo , .
Vamos verificar essas propriedades para cada uma das funções dadas.

Passo 3

1. Verificando

Positividade:
  • A distância usual é sempre não negativa.
  • A raiz quadrada de um número não negativo também é não negativa, então .
  • Se , então implica , o que acontece se e somente se .
Simetria:
  • Como , então , logo .
Desigualdade Triangular:
  • Precisamos mostrar que .
  • Sabemos que pela desigualdade triangular da métrica .
  • Como a função raiz quadrada é subaditiva sobre números não negativos, temos que para .
  • Aplicando isso, .
Então todas as propriedades são satisfeitas para .

2. Verificando

Positividade:
  • , então o numerador e o denominador são positivos, fazendo com que .
  • se e somente se , ou seja, se .
Simetria:
  • Claramente, porque .
Desigualdade Triangular:
  • Precisamos mostrar que .
  • Sabemos que .
  • A função é crescente e concava para , o que ajuda a garantir que .
  • Portanto, .
Assim, todas as propriedades são satisfeitas para .

Resposta

Ambas as funções e satisfazem todas as propriedades de uma métrica, portanto são de fato distâncias em .

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