Seja
um espaço Euclidiano e d a métrica usual de V. Mostre que as seguintes funções, são distâncias sobre
.
-
, para todo
.
-
, para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que duas funções específicas são, de fato, distâncias em um espaço Euclidiano
com a métrica usual
. Para isso, vamos precisar entender o que é uma métrica e verificar se as funções dadas satisfazem as propriedades necessárias para serem consideradas distâncias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as propriedades que uma função
precisa satisfazer pra ser uma métrica:
- Positividade: Para todo
, e se e somente se . - Simetria: Para todo
, . - Desigualdade Triangular: Para todo
, .
Vamos verificar essas propriedades para cada uma das funções dadas.
Passo 3
1. Verificando
Positividade:
- A distância usual
é sempre não negativa. - A raiz quadrada de um número não negativo também é não negativa, então
. - Se
, então implica , o que acontece se e somente se .
Simetria:
- Como
, então , logo .
Desigualdade Triangular:
- Precisamos mostrar que
. - Sabemos que
pela desigualdade triangular da métrica . - Como a função raiz quadrada é subaditiva sobre números não negativos, temos que
para . - Aplicando isso,
.
Então todas as propriedades são satisfeitas para
.
2. Verificando
Positividade:
-
, então o numerador e o denominador são positivos, fazendo com que . -
se e somente se , ou seja, se .
Simetria:
- Claramente,
porque .
Desigualdade Triangular:
- Precisamos mostrar que
. - Sabemos que
. - A função
é crescente e concava para , o que ajuda a garantir que . - Portanto,
.
Assim, todas as propriedades são satisfeitas para
.
Resposta
Ambas as funções
e
satisfazem todas as propriedades de uma métrica, portanto são de fato distâncias em
.