Seja um subespaço de , com o produto interno usual. Determine a projeção ortogonal de sobre .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um subespaço de formado pelas colunas da matriz . Nosso objetivo é encontrar a projeção ortogonal do vetor sobre esse subespaço . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como projeções ortogonais e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa projetar sobre . A projeção ortogonal de em é o vetor em que está mais próximo de em termos de distância euclidiana. Matematicamente, isso significa que a diferença (onde é a projeção) é perpendicular a todo vetor em .
Passo 3
Para encontrar , vamos expressá-lo como uma combinação linear das colunas que geram . Ou seja,
Aqui, são coeficientes que precisamos determinar.
Passo 4
Como (v - p) cdot 1111 = 0 deve ser perpendicular a cada uma das colunas de (v - p) cdot 1-122 = 0 , podemos escrever três equações usando o produto interno (ou produto escalar). Isso significa que:
Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar métodos como substituição, eliminação ou matriz inversa. Para facilitar, vamos montar a matriz aumentada e aplicar a eliminação de Gauss.
Passo 8
Após resolver o sistema, encontramos os valores de . Suponha que os valores encontrados sejam , , e .
Passo 9
Finalmente, substituímos esses coeficientes na expressão inicial de p = a 1111 + b 1-122 + c 12-3-4 :