Seja W=[(1,1,1,1),(1,-1,2,2),(1,2,-3,-4)] um subespaço de R^4, com o produto interno usual. Determine a projeção ortogonal de v=(1,2,-3,4) in R^4 sobre W.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um subespaço de formado pelas colunas da matriz . Nosso objetivo é encontrar a projeção ortogonal do vetor sobre esse subespaço . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como projeções ortogonais e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa projetar sobre . A projeção ortogonal de em é o vetor em que está mais próximo de em termos de distância euclidiana. Matematicamente, isso significa que a diferença (onde é a projeção) é perpendicular a todo vetor em .

Passo 3

Para encontrar p = c1 1111 + c2 1-122 + c3 12-3-4 , vamos expressá-lo como uma combinação linear das colunas que geram . Ou seja,
Aqui, são coeficientes que precisamos determinar.

Passo 4

Como (v - p) cdot 1111 = 0 deve ser perpendicular a cada uma das colunas de (v - p) cdot 1-122 = 0 , podemos escrever três equações usando o produto interno (ou produto escalar). Isso significa que:
(v - p) cdot 12-3-4 = 0

Passo 5

Vamos expandir essas equações. Primeiro, substituímos (1 - c1 - c2 - c3) cdot 1 + (2 - c1 + c2 + 2c3) cdot 1 + (-3 - c1 + 2c2 - 3c3) cdot 1 + (4 - c1 + 2c2 - 4c3) cdot 1 = 0 na primeira equação:
(1 - c1 - c2 - c3) + (2 - c1 + c2 + 2c3) + (-3 - c1 + 2c2 - 3c3) + (4 - c1 + 2c2 - 4c3) = 0
Simplificando:
Depois de simplificar, obteremos uma equação linear em . Faremos isso para as três equações.

Passo 6

Após simplificar as três equações, teremos um sistema linear da forma:
4c1 + 4c2 + 3c3 = 4 4c1 + 6c2 + 5c3 = 6 3c1 + 5c2 + 4c3 = 2

Passo 7

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar métodos como substituição, eliminação ou matriz inversa. Para facilitar, vamos montar a matriz aumentada e aplicar a eliminação de Gauss.

Passo 8

Após resolver o sistema, encontramos os valores de . Suponha que os valores encontrados sejam , , e .

Passo 9

Finalmente, substituímos esses coeficientes na expressão inicial de p = a 1111 + b 1-122 + c 12-3-4 :

Resposta

A projeção ortogonal de sobre é .

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