Seja um subespaço de com o produto interno usual. Determine e tal que e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um subespaço de gerado pelos vetores e . Nosso objetivo é encontrar o complemento ortogonal de e definir uma transformação linear tal que a imagem de seja e o núcleo de seja . Para isso, vamos precisar entender conceitos de subespaços, complemento ortogonal, e transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar . O complemento ortogonal de é o conjunto de todos os vetores em que são ortogonais a cada vetor em . Ou seja, precisamos encontrar os vetores tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, temos . Substituindo na segunda equação:
Então, podemos parametrizar os vetores de como:
Isso significa que é gerado pelo vetor .
Passo 4
Agora, vamos definir a transformação linear de tal forma que sua imagem seja e seu núcleo seja . Uma maneira de fazer isso é usar a projeção em .
Sabemos que qualquer vetor em pode ser decomposto como , onde e . Então, a transformação pode ser definida como .
Para construir , precisamos de uma matriz que projete vetores em sobre . Como é gerado por e , podemos formar a matriz com essas colunas e calcular a projeção.
Primeiro, montamos a matriz :
A matriz de projeção é dada por:
Vamos calcular passo a passo:
Então,
Calculando isso, obtemos a matriz de projeção .
Resposta
O complemento ortogonal T = 13 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 é gerado pelo vetor e a transformação linear que satisfaz e é a projeção sobre definida pela matriz: