Seja W=[(1,1,0),(0,1,1)] um subespaço de V=R^3 com o produto interno usual. Determine W^perp e T: V V tal que Im(T)=W e Ker(T)=W^perp.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um subespaço de gerado pelos vetores e . Nosso objetivo é encontrar o complemento ortogonal de e definir uma transformação linear tal que a imagem de seja e o núcleo de seja . Para isso, vamos precisar entender conceitos de subespaços, complemento ortogonal, e transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar (1,1,0) cdot (x, y, z) = 0 (0,1,1) cdot (x, y, z) = 0 . O complemento ortogonal de x + y = 0 y + z = 0 é o conjunto de todos os vetores em que são ortogonais a cada vetor em . Ou seja, precisamos encontrar os vetores tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, temos y + z = 0 implies z = -y . Substituindo na segunda equação:
(x, y, z) = (-y, y, -y) = y cdot (-1, 1, -1)
Então, podemos parametrizar os vetores de como:
Isso significa que é gerado pelo vetor .

Passo 4

Agora, vamos definir a transformação linear A = 1 & 0 1 & 1 0 & 1 de tal forma que sua imagem seja T = A (A^T A)^-1 A^T e seu núcleo seja 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 . Uma maneira de fazer isso é usar a projeção em 1 & 0 1 & 1 0 & 1 .
Sabemos que qualquer vetor 2 & 1 1 & 2 em 2 & -1 -1 & 2 pode ser decomposto como 2 & -1 -1 & 2 , onde T = A cdot 13 2 & -1 -1 & 2 cdot A^T e . Então, a transformação pode ser definida como .
Para construir , precisamos de uma matriz que projete vetores em sobre . Como é gerado por e , podemos formar a matriz com essas colunas e calcular a projeção.
Primeiro, montamos a matriz :
A matriz de projeção é dada por:
Vamos calcular passo a passo:
  1. Então,
Calculando isso, obtemos a matriz de projeção .

Resposta

O complemento ortogonal T = 13 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 é gerado pelo vetor e a transformação linear que satisfaz e é a projeção sobre definida pela matriz:

Exercícios relacionados